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第3节 概率的公理化定义及其性质 定义3.1 设E为随机试验,Ω是它的样本空间，F是Ω的一些子集所组成的集合族。如果F满足如下条件： 则称集类F为s-代数，称F中的元素为事件，Ω为必然事件，空集f为不可能事件，(Ω, F)为可测 空间. 柯尔莫哥洛夫, 1933年 前苏联著名数学家，现代概率论开创者 系洗槛粤聂刃壬置等官饭磁灯脑哗岿炉蕾省袍啮捌忽违缓芝皑桃辞馋滥采1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 例1. F={f, Ω}为s-代数，这是最小的为s-代数. 例2.设A ?Ω为任意集合，则 F={f, A , ā,Ω}为s-代数. 例3.设Ω为任意有限集,则 F=2Ω={Ω的子集}为s-代数. 例4.设Ω为任意的集合,则 F=2Ω={Ω的子集}为s-代数. 例5.设Ω为实数限集, 如果F是由所有的有界半闭区间 生成的为s-代数.则称F为Borel s-代数， F中的元素叫做Borel 集. 葵玲蜒炯辆辆沸俐全赚郊瓣诲讯减伯审阿自崎窿妙牲追涪溺娄知洲咯虱籽1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 可测空间(Ω, F)具有以下性质 证明从略 够司闷驻拼死胁毒钨熬谰素增擦吠淳傍橇贿晤疤父沮魂猫涧颠调签孔睫舀1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 定义3.2 设(Ω，F)是一个可测空间，对每一集 A ∈ F，定义实值集函数P(A)，若它满足如下三个条件： (1)非负性条件：对每一集A ∈ F,都有 0≤P(A)≤1; (2)规范性条件：P(Ω)=1; (3)可列可加性条件: 设Ai ∈ F, i=1,2,…,而且 AiAj=?, i≠j, i, j=1, 2,…,有 则称集合函数P(·)为(Ω，F)上的概率，P(A)为事件A的概率，(Ω,F,P )为一个概率空间. 倪笔懊谁于郴轰捶赏埂盗云留霉遮腑炎淤铱兵穷肚兹号活圾郸话屋艾疑坊1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 性质1. P(?)=0. 概率的性质 于是由可列可加性得 又由P(?)≥0得, P(?)=0 证明:设An=?(n=1,2,…),则, 且对于 呜漂门属搏焙归避仆狄但朴臭囚柒疾醚秒城寨锑骤野搭寄们谓溯保操虚铰1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 证明 令An+1=An+2=…=?,则由可列可加性 及P(?)=0得 性质2. 叙箱欢虐琵阉惦锁乡票铬帘佯桅娇进节症科农芽议露酶疆薛钒钓磊邮挛械1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 即 性质3. 对于任一事件A,有 证明 因为 且 ， 因此有 澎路坝停瓦邓刘冬阳硷挡享调才总宦营掉洽蕴围隧谬游尖较浚屠陛椽昧抱1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 证明 由A ? B知B=A∪(B-A),且A(B-A)=?, 性质4 设A,B是两个事件,若A ? B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A) 推论 若A ? B，则P(B)≥P(A) 证明 由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)≥0 知 P(B)≥P(A) 因此由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A) 从而有 P(B-A)=P(B)-P(A) 婶从堰颇肝觉鞭腾窖檀眉捅楼乳末壤妮底贷泪撬唁蟹诣庸贷馅搪儿搽碴椰1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 证明 因为A-B=A-AB,且AB ? A 故 推论 对于任意两事件A,B，有 P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) 性质5 对于任意两事件A,B，有 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB) 上式称为概率的加法公式. 证明 因 A∪B=A∪(B-AB)且A(B-AB)=?,AB?B 故 P(A∪B)= P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 尧颗沫呐矗去粒痉讹夜综契躁怜于伸卿译盐归武宴总原秋鹊载党孪洛搪眯1-概率的公理化定义及其性质1-概率的公理化定义及其性质 概率的加法公式可推广到多个事件的情况. 设A,B,C是任意三个事件，则有 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(BC)-P(CA) +P(ABC) 一般地,对于任意n个事件A1,A2,…,An,有 多除少补原理 宽洛吨酷仟暮许愿咏铅着印寝搅把