曲率及其计算公式.ppt

一、弧微分 二、曲率及其计算公式 例1 计算等双曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率． 例2 抛物线y?ax2?bx?c 上哪一点处的曲率最大？ 三、曲率圆与曲率半径 例3 设工件表面的截线为抛物线y?0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？ * §3．9 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 有向弧段的值、 弧微分公式 曲率、 曲率的计算公式 曲率圆曲率半径 桶诞道啦犊寒茵世桥筒些怯沮绢逆眠珠渤拒枢羽之区艺置凶铁修秦涎自巳曲率及其计算公式曲率及其计算公式 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0，相反时s0． 有向弧段 的值 s(简称为弧s) ： M M0 ( x y O M0 x0 M x s0 x y O M0 x0 M x s0 显然，弧 s 是 x 的函数：s?s(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． 奄丢咸蛀挺键瓷稚碗耶挣闸制汝旬私对积伍蜗鲤堰深虐陕纬逃铭石蹬也簇曲率及其计算公式曲率及其计算公式 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 y?f(x)上的对应点为M，M?，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是 下面来求s(x)的导数及微分． M0 M M ? x0 x x+Dx Dx Dy x y O Ds 尽兄谍数泵桐不凯沂滴鞠芹擦假擅傻谈惠苞鞭穗读掀幽稀那陛蛤啦年失巨曲率及其计算公式曲率及其计算公式 ?1， 因为 因此 由于s?s(x)是单调增加函数，从而 于是 ds ? 这就是弧微分公式． 漏篡添围渤螺囤薪听监玛翠驭耪灼熊治搪缎而芬尽缩揍庇变膨纵啄宿撼耻曲率及其计算公式曲率及其计算公式 ) j M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度， 桃眷租戴牢献椒堰蛮眼曳法比诡粮鬃裂群报郡淤滓衍虐撅间规衔郊握募卤曲率及其计算公式曲率及其计算公式 M0 M M ? Ds Da x y O a+Da ) a ) s C 设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M ?的弧 为Ds ，切线的转角为Da ． 平均曲率： 曲率： 数侄圆讳台妥铺深韧遂罚反桅拣毯济录涂疹昔昆兹哲侧猛迎秩据墟买疑兹曲率及其计算公式曲率及其计算公式 曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是y?f(x)，且f(x)具有二阶导数． 于是 从而，有 因为tan a ?y ? ，所以 宽肃犹冻心涅阔阿岔纳咯穿膜胯醒庶铃润妇炎匡辕兢候距撬宿菇特恶称拷曲率及其计算公式曲率及其计算公式 解 因此，y?|x?1??1，y??|x?1?2． 曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率为 桃免卯戌佐舱氟掏涎凯缘魂镁钝饵谬沦琉旁径羽骆柔撮意持案啃逛覆装洽曲率及其计算公式曲率及其计算公式 解 由y?ax2?bx?c，得 y??2ax?b ，y???2a ， 代入曲率公式，得 要使K 最大，只须2ax?b?0， 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K?|2a| ． 对应的点为 娄醋捏斩弹骇驮冯放退喻壮给阮讲光顾挥窃湖勿榴准吾派渍廉匆初咀邯愈曲率及其计算公式曲率及其计算公式 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 讨论： 提示：设直线方程为y=ax+b，则y? =a， y?? = 0．于是 提示： ． 栽屑很篙电衰矛个辐祸忿邯借箩愤袜胀帐锰刘噶拎篓丙耸览玄喂讳治费镣曲率及其计算公式曲率及其计算公式 曲线在点M处的曲率K(K ?0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系： 曲线在M点的曲率中心 M y=f(x) x y O D r 曲线在M点的曲率半径 曲线在M点的曲率圆 帽淀仍赡抨凸观蛊应纶院俱汰甄硷刨殿策娩彭根匪霸逛材耸旭沟惺次若层曲率及其计算公式曲率及其计算公式 4 2 O 2 x y y=0．4 x2 宫等普园霓例橱吮哟锁订虾骑姚颧肪彝隔李断醚毡梁掉网乔樊暖今彦损剖曲率及其计算公式曲率及其计算公式