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初一数学竞赛系列讲座 相交线、平行线 一、知识要点： 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。 垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2） 直线外一点与直线上所有点的连线中，（3） 垂线段最短。 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。 利用平行公理及其推论证明或求解。 二、例题精讲 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。 解：∵　a∥b， ∴　∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵　∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴　∠1＝∠2 (等式性质) 则　3x+70＝5x+22　解得x=24 即∠1＝142°　 ∴　∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 解：∵AB∥EF∥CD ∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG平分∠BEF（已知） ∴∠GEF=∠BEF=30°（角平分线定义） 例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。 解：过E作EF∥AB ∵　AB∥CD（已知） ∴　EF∥CD（平行公理） ∴　∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵　∠DEB=∠DEF-∠BEF ∴　∠DEB =∠D-∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3） 例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长， 求证：ha+hb+hc＜a+b+c 分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段 证明：由垂线段最短知，ha＜c ，hb＜a，hc＜b 　　　以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。 垂线段最短。　　 例5．如图（4），直线AB与CD相交于O，EF?AB于F，GH?CD于H， 求证EF与GH必相交。 分析：欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。 证明：假设EF与GH不相交。 　∵　EF、GH是两条不同的直线 　∴　EF∥GH 　∵　EF?AB　　 ∴　GH?AB 　又因GH?CD　故AB∥CD (垂直于同一直线的两直线平行)　　　　　　图（4） 　这与已知AB和CD相交矛盾。 　所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交 评注：本题应用结论： (1) 垂直于同一条直线的两直线平行。 (2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线； 例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点， 第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点； 第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点； … 则　n条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=n(n-1) 评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。 例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？ 解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。 另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9