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Discrete Math. , huang liujia 离散数学 Discrete Mathematics 9.1 二元运算及其性质 二元运算定义及其实例 一元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元 二元运算的定义及其实例 二元运算的实例（续） 一元运算的定义与实例 算符：°, ?, · , ?, ? 等符号, 表示二元或一元运算 对二元运算 °，如果 x 与 y 运算得到 z，记作x°y = z； 对一元运算 °, x 的运算结果记作 °x 表示二元或一元运算的方法：公式、 运算表 注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符 二元与一元运算的表示（续） 运算表的实例 二元运算的性质 二元运算的性质（续） 二元运算的特异元素 二元运算的特异元素（续） 实例分析 惟一性定理 惟一性定理（续） 消去律 定义9.11 设°为V上二元运算，如果? x, y, z?V， 若 x ° y = x ° z，且 x不是零元，则 y = z; 若 y ° x = z ° x, 且 x 不是零元，则 y = z. 那么称 ° 运算满足 消去律. 实例: (1) Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. (2) Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于乘法不满足消去律. (3) Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘法不满足消去律. 例题分析 例题分析（续） 例题分析（续） 例题分析（续） 由运算表判别算律的一般方法 交换律：运算表关于主对角线对称 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致 消去律：所在的行与列中没有重复元素 单位元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致 零元：元素的行与列都由该元素自身构成 A 的可逆元：a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立 9.2 代数系统 代数系统定义 同类型代数系统 子代数 代数系统定义与实例 实例:(1) N,+, Z,+,·, R,+,·是代数系统，+ 和 · 分别表示普通加法和乘法. (2) Mn(R),+,·是代数系统， + 和 · 分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法. (3) Zn,?,?是代数系统，Zn＝{0, 1, … , n-1}， ? 和 ? 分别表示模 n 的加法和乘法，?x,y∈Zn， x?y = (x＋y) mod n，x?y = (xy) mod n (4) P(S),∪,∩,~ 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补 同类型代数系统 子代数 子代数 * CHAPTER TEN * Discrete Math. , huang liujia Discrete Math. , huang liujia 第九章 代数系统 §9.1 二元运算及其性质 §9.2 代数系统 本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前面四章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。 主要内容如下： 定义9.1 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： 1. S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的； 2. S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。 例9.1 (1) N 上的二元运算： (2) Z 上的二元运算： ? (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai °aj = ai : (5) 幂集 P(S) 上的二元运算： (6) SS 为 S 上的所有函数的集合： 加法、乘法. 加法、减法、乘法. ? 乘法、除法.