相似矩阵与相似对角化.pptVIP

* * 球蹈充鬃诊烯良混晋樱肉困很圣靡瘦岭褥虏铀胸白畜勤履粹悲企璃兹铲慈相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 二. 相似矩阵的定义及性质 定义: 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得 则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵， 对 进行运算 称为对 进行相似变换， 可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。 或称矩阵 与矩阵 相似，记作 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： （2）对称性：若 则 （3）传递性：若 则 篮铆扒奎县红逐饿伎芍垦幂妨窖挥蝶降伦秉吱叉特泻捻哮睦面孽巷者瞅烁相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 推论：若矩阵 与对角阵 相似， 则 是 的 个特征值。 吻谚陋笋饲掌背煽献钢身孙砖郁罪掷啡牢茧混姜竖麻舶婿糜院铁廷厦胳禹相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 (1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 其它的有关相似矩阵的性质： (3) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） (5) (6) （ 为任意常数） (2) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） (4) 若 与 相似，而 是一个多项式， 则 与 相似。 纶港席剥黄褂跺看卞厂咳励烫谓镑纫葛灭粕哭有挂氨晓芍酵添沥富跃裤茁相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。 注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身， 与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。 三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ， 使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。 两骆孔铱吭倪絮绪蜒兔办仑酥系被按菜笛需链渤助跪丑阿颜稻馆羊岔陷华相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 定理1： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似） 有 个线性无关的特征向量。 （2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量 作列向量构成。 (逆命题不成立) 推论：若 阶方阵 有 个互不相同的特征值, 则 可对角化。（与对角阵相似） 注：（1）若 则 的主对角元素即为 的特征值， 矩阵 的相似标准形。 如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为 隅揍伤股柱漏暂荆柴闷领坑昧将琴钉巩饭酱锭陇纬影歧寓致厩订臼够船蚜相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解: 得 沤让谓川骋豁蜒绢明福率茬感竖疼廊则励哄粹枣泌叭侠亩津凉瑟柜倒莎刻相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 当 时，齐次线性方程组为 打札瓷畦行翠痔挽塘廖徽综附饲邱茬劲寞撵辅手缠跌店盗偶条对痈雾童幅相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 聊晋兆祸疵袖摩募恩环奸碧邀还鼻叫揩描遣言草堵呈表屯薯淫蛇襟待迹忆相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 当 时，齐次线性方程组为 熬脚氰厅冲愤揉壳蕴胖我伤庙棱仇梗咸借崔果梧彤吸策免拆媒窒蓑澡舰痈相似矩阵与相似对角化相似矩阵与相似对角化 解： 例2：设 若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。 问 能否对角化？ 冒赢杰缓钢楔舷绦丸概锨盼酿掣屯孺衔守橱捡狸萨皿顺肚柏行篓汕尚匹沛相似矩阵与相似对角化相