概率论与数理统计章末总结7.docVIP

第七章 数理统计基础 §7.1数理统计的基本概念 §7.1.1总体与个体 总体：数理统计中研究对象的全体 有限总体：包含有限个个体的总体 无限总体：包含无限个个体的总体 个体：组成总体的每个基本单元 §7.1.2样本 样本：从总体中独立地随机抽样所抽到的个个体 从总体中独立地随机抽样所抽到的个个体的观测值 样本容量： 简单随机样本的两条重要性质： （1）样本中每个与总体具有相同的分布 （2）随机变量之间相互独立 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合， 完全样本：中每个都有具体的观测值 分组样本：没有具体的数值，只有一个范围 总体的分布函数为，概率函数为，为来自总体的样本， 则：（1）样本的联合分布函数为： （2）样本的联合概率函数为： §7.1.3统计量与常用统计量 设为来自总体的一个样本，是该样本的观测值 统计量：不包含任何未知参数的样本函数 统计量的观测值： 样本均值： 样本方差： 样本阶原点矩： 样本阶中心矩： 设是来自总体的样本，且总体均值，总体方差， 则：（1） （2） §7.2数理统计中常用的三大分布 §7.2.1卡方分布 1.若相互独立，都服从，且，则称 服从自由度为的分布，记为 分布的性质： （1）若，则有个相互独立的，使得 （2）若，则， （3）若，，且相互独立，则 柯赫伦分解定理 设相互独立，都服从，是某些线性组合的平方和，其自由度分别为，如果，且，则：，且相互独立 4.分布的上侧分位点 设，对于给定的，满足的点 §7.2.2分布 设，，且与相互独立，，则称服从自由度为的 分布，记为 分布的性质 （1）若，则有相互独立的，，使得 （2），即分布的极限分布是标准正态分布 （3）若，由于关于轴对称，则时，； 若，由于分布的密度函数比标准正态分布的密度函数图形平坦，则 时， 3.分布的上侧分位点 设，对于给定的，满足的点 §7.2.3分布 若，，且与相互独立，，则称服从第一自由度 为，第二自由度为的分布，记为 分布的性质 （1）若，则有相互独立的，，使得 （2）若，则 （3） 分布的上侧分位点 设，对于给定的，满足的点 §7.3正态总体下的抽样分布 设是来自总体的样本，样本均值，样本方差，则与相互独立 证明：是相互独立的正态随机变量的线性函数，且，， 因而 证明：由于， 因而 证明：由于，，且与相互独立 因而 §7.4两个正态总体下的抽样分布 设样本来自总体，样本均值和样本方差分别为 设样本来自总体，样本均值和样本方差分别为 且两个样本相互独立，则有： 证明：由于， ，且相互独立 因而 若， 证明：由于，，且相互独立 因而 则 证明：由于，，且相互独立 §7.5次序统计量 §7.5.1次序统计量的概念 设是取自总体的样本，称为该样本的第个次序统计量，其取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第个观测值 最小次序统计量，最大次序统计量 注意：在一个样本中，是独立同分布的；而次序统计量既 不独立，也不同分布 §7.5.2次序统计量的分布 设总体的密度函数为，分布函数为，是取自总体的样本 第个次序统计量落入无穷小区间内的概率为，则有 因而第个次序统计量的密度函数为 §7.5.3多个次序统计量的联合分布 设总体的密度函数为，分布函数为，是取自总体的样本，则次序统计量的联合密度函数为