9.数的奇偶性讲义.docVIP

数的奇偶性 一、基础知识回顾： 1、数的奇偶定义： 　　能被2整除的数，叫做偶数，通常叫做双数。不能被2整除的数叫奇数，通常叫做单数。一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数。一个数是偶数还是奇数，是这个数自身的属性，称为奇偶性。 2、奇、偶数有下列性质： 　(1)奇数一般表为2n+1的形式，偶数可表为2n的形式(其中n为整数)，特殊的0是一个偶数。 　(2)一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数。总之，奇数≠偶数。 　(3)奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数 　(4)两个数之和与这两个数之差有着相同的奇偶性。 　(5)奇数个奇数之和是奇数。 　(6)奇数×奇数＝奇数， 　?? 奇数×偶数＝偶数， 　?? 偶数×偶数＝偶数， 　(7)若干个奇数之积为奇数。 　(8)奇数的平方被4除余l ?? 比如：12＝4×0+1，32＝9＝4×2+1，52＝25＝4×6+l…… ?? 一般地(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1 　(9)偶数的平方是4的倍数 ?? 　比如：22＝4＝4×l，42＝16＝4×4，62＝36＝4×9…… 　　一般地(2n)2＝4n2＝4×n2 　(10)相邻两个自然数之积必为偶数，其和必为奇数。这是因为相邻两自然数必一奇一偶，所以其积为偶数，其和为奇数。 小结：以上性质虽然浅显，若能巧妙运用，就可以巧妙地解决许多复杂有趣或者看上去很难着手解决的问题。 　　分析数的奇偶性所能解决的问题是以判定存在性为主要特征的，比如判定方程有无整数解?整数运算等式能否成立?存在不存在满足某种条件的事件?等等。通过分析，若出现奇数＝偶数的矛盾，则表明所判定的对象不存在，通过下面例题，希望读者细心体会整数的奇偶性在解题中所扮演的角色。 　这种利用奇、偶数的性质解题的方法，叫做奇偶数分析。 二、典型例题讲解 例1．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数?(首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) ??? 例2．有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，求这两个质数。(西安市小学生数学竞赛试题) 例3．1+2+3+…+1998+1999的和是奇数还是偶数? 　　 例4．100个自然数的和是10000，在这些数里奇数的个数比偶数多，那么偶数最多有多少个？ 例5．把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的倍数。(1973年加拿大数学竟赛) ??? 例6．有四个互不相等的自然数。最大数与最小数之差是4，且最大数与最小数之积是奇数。这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是？  ??? 例7．1988名学生按编号1、2、……、1988从小到大顺次排成一列，令奇数号位(1号位、3号位……)上的同学离队，余下同学的顺序不变，依次重复上面的要求，那么最后留下的同学在一开始是排在???? 号位的？ ??? 例8．四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和与两个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的两个偶数之和尽量地小，那么这样的两个偶数之和最小可能是？ ??? 例9．元旦前同学们相互写信祝贺新年，如果每人只要接到对方来信就一定回信，那么写了奇数封信的学生人数是奇数个还是偶数个？ ??? 例10．在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯。如果每次同时拨动四小房间的开关，能不能把全部房间的灯关上?为什么？ ??? 例11．任意交换某个三位数的数字得一个新的三位数，某同学将原三位数与新的三位数相加，得和为999。求证这个同学的计算一定有误。 ??? 例12．请问数a=11994+(11994+21994)+(11994+21994+31994)+…+(11994+21994+31994+…是奇数还是偶数？ ??? 例13．证明任意3个整数中，至少有两个整数之和是偶数。 ?? 例14．在黑板上写出3个整数，然后擦去一个换成其它两数的和减1。这样继续操作下去，最后得到17，1967，1983，问原来写的3个整数能否为2，2，2? ?? ? 例15．某班共25位同学，坐成5行5列(在数学中习惯于把横排叫“行”，竖排叫“列”)，每个座位的前、后、左、右的位子都叫它的“邻座”，要让这25位同学中的每一位都换到他的邻座上去，是不是能办得到? ??? 　　 ??? 例16．有一列数，最前面四个数为1、9、8、4，从第五个数起每个