矩阵在高中教学中的运用.docVIP

矩阵在高中教学中的运用 仪征市第二中学 211400 陈媛 摘要： 新课标实验教材选修4-2为《矩阵与变换》，就该专题的教学要求及近年来各地数学考试试题中出现的相关问题，本文了矩阵的方法，把抽象深奥的内容简明扼要的传授给学生.。 关键词：矩阵; 教学运用 高中阶段的学生其生理发育已基本成熟，大脑的容量与成人已相差无几，逻辑思维能力与抽象思维能力已得到一定程度的发展，数学抽象能力、空间想象能力、计算能力等智力水平已相对较高，思维有了充分的可逆性，并且能够跳跃，具备理解矩阵与变换的生理成熟；其心理特点时这一时期的学生世界观没有完全形成，社会化过程刚刚开始，具有较强的可塑性，富于幻想，对事、对人、对己要求往往理想化，追求完美，在各种复杂的矛盾中寻求妥协的意识与能力不够. 高中学生开始学习或已经学习马克思哲学，具备了初步的辩证唯物主义观点，具有一定的方法论意识，了解了较多的自然科学与社会科学知识，具有一定的知识储备，有进一步学习的愿望与要求，具备将所学知识用于生活时间的潜在能力。这些学生已掌握的知识技能，对学习本专题时必不可少的，根据矩阵与变换的选修专题所界定的内容，学生学习这部分主要包括矩阵与变换的概念，通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质，旋转矩阵与切变矩阵的建立。逆矩阵和矩阵特征值与特征向量的概念及求法，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，矩阵的运用。这部分难点主要是矩阵在解题中的运用，特别是通过矩阵与变换的方法解其他数学问题.如： 1 对二元一次方程组的求解 二元一次方程组 ， 可以用矩阵表示为 设 ， 则上述二元一次方程组可表示为 ， 从变换的观点看，解二元一次方程组的问题可以看作是已知变换矩阵及变换的结果（向量（点）），求该结果是由哪一个向量（点）变过来的，如果变量A可逆，只要把结果变回去得到，因此若矩阵A有逆矩阵，则上述二元一次方程组的解为. 设，则A为向X轴作投影变换，它把直线X=1上所有点变为，因此，对于二元一次方程组，直线X=1上的所有点（向量）都是它的解，即有无穷多个解.而对于Y轴上面的点（向量）来说，平面上任何一个点在投影变换下都无非变为，即二元一次方程组无解. 2. 求区域面积之比 [例] 直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为多少？ 这道题貌似线性规划的问题，本质上却是以仿射变换为背景的，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积，用变换的方法来解，过程非常简单，根据定理“两个三角形面积之比是仿射不变量”，仿射变换，对应行列式的绝对值为2，区域A的面积为0.5，，得出区域B的面积为1. .求平面法向量[例]已知平面内由三个点求平面的一个法向量. 用矩阵法 ， ， 所以平面的一个法向量为. 用矩阵法只要把平面的两个向量坐标写成矩阵形式，并理解运算方法，用口算就可以求出平面的法向量，学生运用这种方法能很快准确的求解问题，既达到了教学目标，又提高了学习积极性. 设为平面的两个向量，求平面的法向量的步骤为： （1）将两个向量写成矩阵形式，并按如下方法计算：求其中一个坐标用另外两组坐标交叉相乘的差，但求坐标时要添加一个负号. 当然，在已知两个平面向量坐标较简单，求平面的法向量时，矩阵法的优越性未必很明显，但在运用法向量证明两平面垂直时，矩阵法的优越性就一目了然了. 如：在正方体中，E,F分别是的中点，求证： 分析：由两个平面垂直条件知，需证明两个平面的法向量垂直. 证明：以D为原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设棱长为1， 则 ， 平面AED的法向量为： 平面的法向量为： 所以，所以. . 研究递推数列的周期性. 定理一 设数列满足 记系数组成矩阵 则可表示为，此处 证：当时，对应矩阵. 当时， ， 所以. ， 所以对应于矩阵 假设时, ， 对应于矩阵, 则当时， , 而 对应于矩阵 定理二 对于递推数列，其系数对应于，则该数列为非常数的周期数列的充要条件是存在一个正整数，使为数量矩阵，即 其中就是数列的一个周期. 证：由定理一知，该数列为非常数的周期数列存在一个整数，对于任意 都有. [例1]已知数列 解：，其系数对应于, 因为，由定理二可知，数列为周期数列，周期为3， 所以. [例2] 在数列中， 解： ，又. 由定理二可知，该数列为周期数列，周期为4，由，可得[例3] 在数列满足： 解：该数列的系数对应于 ， 用数学归纳法可得： 当n=k时，所以该数列周期为k，所以 这样通过将矩阵及其变换运用到高中数学中，可以使学生将数学中原本复杂深奥的问题变得一目了然，豁然开朗，为解题带来了方便，激发了学生的学习兴趣