高等数学第七版课件61 元素法 定积分在几何学上的.pptVIP

计算心形线 计算心形线 求由连续曲线段 计算由椭圆 计算摆线 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , * 第一讲 元素法 定积分在几何学上的应用 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 元素法 应用定积分解决实际问题的常用方法 用定积分解决的问题的特点: 所求量联系着一个基本区间 所求量对区间具有可加性 元素法的主要步骤: 选取积分变量,确定积分区间 求出所求量对应于一个小区间的元素 写出所求量积分表达式 元素的求法: 在微小的局部 以直代曲 以不变代变 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 元素法 定积分在几何学上的应用 一、元素法 二、定积分在几何学上的应用 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 （一）平面图形的面积 1．直角坐标情形 2．极坐标情形 （一）平面图形的面积 1．直角坐标情形 2．极坐标情形 曲线 与直线 及 x 轴所围曲边梯形面积 定积分几何意义 元素法: 积分变量: x 积分区间: [a,b] 面积元素: 所求面积: 微小的局部 “以直代曲” 例1 计算由两条抛物线：y2=x、y=x2 所围成的图形的面积 x o y 1 x x+dx 积分变量: x 分析: 积分区间: [0,1] 面积元素: 所求面积: 例2 计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4 所围成的图形的面积 x o y y y+dy 积分变量: y 分析: 积分区间: [-2，4] 面积元素: 所求面积: -2 4 法一 例2 计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4 所围成的图形的面积. x o y 积分变量: y 分析: 积分区间: [-2，4] 面积元素: 所求面积: 2 8 法一 积分变量: x 积分区间: [0,8] 面积元素: 所求面积: 法二 较繁！ 例3 求椭圆 所围图形的面积. x o y 利用对称性 , 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 分析 （一）平面图形的面积 1．直角坐标情形 2．极坐标情形 （一）平面图形的面积 1．直角坐标情形 2．极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 元素法: 积分变量: θ 积分区间: [α,β] 面积元素: 所求面积: 微小的局部 “以不变代变” 例4 对应 ? 从 0 变到 2? 所围图形面积. 计算阿基米德螺线 所围图形的面积. 例5 心形线是外摆线的一种 注 即 方程: 参数的几何意义 与圆 所围图形的面积 . 例6 例7 求双纽线 所围图形面积 . 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 思考 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 二、定积分在几何学上的应用 （一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长 (二) 体积 1．旋转体的体积 2．平行截面面积已知的立体体积 (二) 体积 1．旋转体的体积 2．平行截面面积已知的立体体积 绕x轴旋转一周围成的立体体积. 连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积. 元素法: 积分变量: x 积分区间: [a,b] 体积元素: 所求体积: 微小的局部 “以不变代变” 类似地: 所围图形 绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 利用直角坐标方程 法一 (利用对称性) 例8 分析 利用参数方程 法二 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 绕 x 轴旋转而成的体积为 例9 分析 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 柱面面积 柱壳体积 (二) 体积 1．旋转体的体积 2．平行截面面积已知的立体体积 (二) 体积 1．旋转体的体积 2．平行截面面积已知的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b]上连续,求立体的体积 元素法: 积分变量: x 积分区间: [a,b] 体积元素: 所求体积: 微小的局部 “以不变代变” 例10 与底面交成 ? 角, 计算该平面截圆柱体所得 立体的体积 . 垂直于x 轴 的截面是直角三角形 其面积为 分析