MATLAB语言矩阵处理.docVIP

实验 1．了解特征值与特征向量基本概念及其性质； 2．了解若当标准型的基本概念； 3．学习、掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验准备】 1．特征多项式 设A为n阶方阵, 如果数“”和n维列向量x使得关系式成立, 则称为方阵A的特征值, 非零向量x称为A对应于特征值“”的特征向量。 poly(A)，返回矩阵A的特征多项式的向量表示形式，例如： clear A=[1 0;2 3]; p=poly(A) %矩阵A的特征多项式的向量表示形式 p = 1 -4 3 f=poly2str(p,x) %矩阵A的特征多项式 f = x^2 - 4 x + 3 或者由定义出发，计算特征多项式.例如： clear A=[1 0;2 3]; E=eye(2); %2阶单位阵 syms x f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式 f = (x-1)*(x-3) 2．特征值与特征向量eigenvalue 求一个方阵的特征值与特征向量可以使用函数eig( ). d=eig(A), 返回A所有特征值组成的列向量d. [V,D]= eig(A), 返回A所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V. [V,D]= eigs(A), 返回A所有特征值(按大小次序)组成的对角矩阵D和特征向量组成的矩阵V，且满足D=V-1AV. d=eig(A,B), 返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的向量d. [V,D]= eig(A,B), 返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V. 例如： clear （ format）（ format rat） A=[0 1 0 0;1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0]; d=eig(A) %求矩阵A的特征值 d = 1 -1 1 -1 %特征值以列向量的形式输出，例如： [V,D]=eig(A) %求矩阵A的特征值与特征向量所组成的矩阵 V = -0.7071 0 0 0.7071 0.7071 0 0 0.7071 0 -0.7071 0.7071 0 0 0.7071 0.7071 0 D = -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 %说明（1）矩阵D的主对角线上的元素为特征值，所以方阵A的特征值为-1（二重），1（二重）. %说明（2）特征值-1对应的特征向量为V中的第1、2列，即 (-0.7071 0.7071 0 0)T (0 0 -0.7071 0.7071)T ，其中为任意常数， 特征值1的特征向量为V中的第3、4列，即 (0 0 0.7071 0.7071)T ( 0.7071 0.7071 0 0)T ，其中为任意常数。 V=sym(V) %以符号的形式输出矩阵V V = [ -sqrt(1/2), 0, 0, sqrt(1/2)] [ sqrt(1/2), 0, 0, sqrt(1/2)] [ 0, -sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0] [ 0, sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0] V^-1*A*V %验证D=V^-1AV ans = [ -1, 0, 0, 0] [ 0, -1, 0, 0] [ 0, 0, 1, 0] [ 0, 0, 0, 1] 3.提高特征值的计算精度 函数 balance 格式 [T,B] = balance(A) %求相似变换矩阵T和平衡矩阵B, 满足。 B = balance(A) %求平衡矩阵B 4．实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的对角化 [P,D]= eig(A) D为对角化后的矩阵，P为正交阵. 在Matlab中，我们运用函数eig求出二次型矩阵A的特征值矩阵D和特征向量矩阵P，所求的矩阵D即为系数矩阵A的标准形，矩阵P即为二次型的变换矩阵.例如： clear A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; %实对称矩阵A [P,D]=eig(A