H矩阵预条件对角占优性的改进王佳佳.docVIP

矩阵的预条件对角占优性 王佳佳 指导教师: 王学忠 （河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000） 摘 要 文[7]中作者研究了如何建立适当的预条件矩阵, 把一个非对角占优的矩阵转化为对角占优矩阵, 在文[7]的基础上，我们进一步讨论了对角占优性与参数的关系，得到了对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据。 关键词 迭代法; 矩阵; 预条件矩阵; 对角占优性 中图分类号 O151.26 Preconditioned Diagonally Dominant Properties of H-matrix Li Xiaomei Instructor: Wang Xuezhong (School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000) Abstract In [7], Li and Wang studied how to establish appropriate preconditioned matrices for transforming a H-matrix which is non-diagonally dominant matrix into the diagonally dominant matrix. In this paper, we discuss the relation between the diagonally dominant properties and parameters based on the conclusion of [7] and obtain the parameters on best diagonally dominant properties. Keywords Iterative method; H-matrix; Preconditions matrix; Diagonally dominant properties 1 引言 对于给定的线性方程组 , (1) 其中和已知, 未知. 当用迭代法求解时迭代格式为 , 其中称为迭代矩阵, 称为初值[1]. 我们用到的经典迭代法有Jacobi迭代法[1], Gauss-Seidel迭代法[1], SOR()迭代法[1], 它们的迭代格式分别为 , , , 而且当系数矩阵为严格对角占优矩阵时, 这三种迭代法都收敛[2], 当系数矩阵的对角占优性越强时, 迭代法的收敛速度越快. 但是, 在实际问题中我们所遇到的系数矩阵不一定严格对角占优, 因此, 对原方程组进行预条件等价变形, 把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要. 例如, 我们可以找两个非奇异矩阵和使得严格对角占优, 这样便把解的问题转化为解其同解问题 , (2) 和 . 因此, 找到好的和便成为问题的关键, 其中和称为预条件矩阵[5]. 对和的选取方式有很多种, 现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵, 具体形式可参考文献[5，7]. 本文在文[7]的基础上主要考虑与的对角占优性之间的关系，找到了比的对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据. 2 预备知识 定义1[3] 设, 若可以表示为, 其中, 则当 时, 称为非奇异的矩阵, 简称矩阵. 定义2[4] 设, 令, , 则称矩阵 为的比较矩阵, 记作, 即 , 其中, 表示以和中元素的模为元素的矩阵. 若是非奇异的矩阵, 则称为非奇异的矩阵, 简称矩阵. 定义3[3] 设, 若满足 , 且至少有一个使上述不等式严格成立, 则称为弱严格对角占优矩阵; 如果上述个不等式都严格成立, 则称为严格对角占优矩阵. 定义4[3] 设, 若存在正对角矩阵, 使得为行（列）严格 对角占优矩阵, 则称为行（列）广义对角占优矩阵. 引理1[4] 是矩阵的充要条件是存在使, 其中. 引理2[5] 是对角元全为1的矩阵, 若, 则成立不等式 . 引理3[5] 是矩阵的充要条件是存在正对角矩阵, 使得为行（列） 严格对角占优矩阵. 3 主要结论及证明 若是对角元全为1的矩阵, 我们考虑文[7]中提到的如下预条件矩阵和, , , 其中是参数. 定理1 若是对角元全为1的矩阵，假设存在一个正的向量 使得 让 ， 那么. 证明 由知， 定理2 是对角元全为1的矩阵, 假设存在一个正向量, 使得, 如果满足条件, 那么, 是矩阵, 并且是严格对角占优矩阵, 其中是常数.