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由于线性化的问题上是如此的不动点的成功，将尝试使用周期点的一个类似的方法。缩写的线性化ｆ沿周期轨道 At=dΦ(t,x0) , At+T=At , (12.3) 建议或问题进行调查的第一个变分方程 y=Aty, (12.4) 我们已经遇到的（2.52）。请注意选择不同的周期轨道点x0→Φs,x0. 我们的目标是要表明稳定的周期轨道 γx0 涉及到第一个变分方程的稳定性。作为第一个有用的观察，我们注意到，主要矩阵相应的解决方案Ⅱt,t0可以通过线性化沿周期轨道流动。 Lemma 12.1主要的第一变分方程的矩阵解为。 Ⅱx0t,t0=?Φt-t0?xΦt0,x0. (12.5) 此外,ｆΦt,x0是第一个变分方程的解。 ｆΦt,x0=Ⅱx0t,t0ｆΦt0,x0. (12.6) 证明：缩写Ｊt,x=?Φt?xx, 然后Ｊ0,x=Ⅱ并通过交换t和x衍生工具可以得出 Ｊt,x=d∫Φt,xＪt,x. 因此Ｊt-t0,Φt0,x0是主要的第一变分方程的矩阵解法。它仍然表明（12.6）满足第一个变分方程是一个简单的计算。 至今At是周期的，第3.5所有事项适用。特别是主要矩阵解决方案是从。 Φx0t,t0=Px0expt-t0Qx0t0 (12.7) 与单值矩阵Mx0t0=expTQx0t0=?ΦT-t0?xΦt0,x0具有特征值在所选择的轨道点无关。请注意一个是一特征值，因为。 Mx0t0ｆΦt0,x0=ｆΦt0,x0. （12.8） 12.2 The Poincare map 记得Poincare映射 P∑y=Φτy,y (12.9) 6.3节介绍。它是为调查周期轨道的主要手段之一。稳定的周期轨道γx0直接关系到稳定性x0作为一个固定点P∑. Lemma 12.2 周期轨道γx0是（渐近）稳定的轨道ｆ当且仅当x0是（渐近）稳定不动点p∑. 证明：假设x0是一个稳定的固定点p∑. 设u是一个街区γx0. 选择一个社区U?U?∑的x0使得Φ0,T,U?U.如果x0是一个稳定的固定点p∑还有另外一个邻居V?∑的x0使得PnV?U关于所有的n.现在假设V是一个街区γx0使得V?Φ0,T,V. 那么y?V有一个最小的t0≥0使得y0=Φt0,y∈V. 因此yn=P∑ny0∈U因此?t,V?U对所有的t≥0. 此外，如果yn→x0然后Φt,y→γx0由连续性的Φ与压实度0,T.因此γx0如果是渐近稳定x0是.相反的是平凡的. □ 作为这一结果的直接后果和定理10.1我们获得. Corollary12.3. 假设ｆ∈Ck有一个周期轨道γx0. 如果所有的本征值的Poincare映射的单位圆内的谎言则是渐近稳定的周期轨道. 接下来我们说明了此方法是与第一变分方程. Theorem 12.4. 对衍生工具的Poincare映射的特征值dp∑在x0普尔1单值配合的单值矩阵的特征值Mx0t0. 特别的Poincare映射的特征值是独立的点x0与横向的弧度∑. 证明：经过线性变换，它是没有任何限制承担ｆx0=0,…,0,1. 写x=y,z∈Rn-1×R.因此∑是局部函数的图形s:Rn-1→R我们可以采取y本地坐标的Poincare映射，因为 ??xΦτx,x︱x=x0=ｆx0dτx0+?ΦT?xx0 (12.10) 我们推断dp∑t0j,k因为1≤j,k≤n-1由引理12.1. 此外,Mx00ｆx0=ｆx0因此 Mx00=dp∑x00m1 (12.11) 这是显而易见的. □ 因此我们获得 Corollary 12.5 对Poincare映射在衍生的决定因素x0并且是平等的单值矩阵 detdp∑x0=detMx0x0. (12.2) 特别是自单值矩阵的行列式不会消失p∑y 是一个