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概率论与数理统计期末练习题（2011.12） 姓名 参考答案 1．袋中有4个白球，6个黑球；从袋中任取3个球，并记{取到2个白球和1个黑球}，求概率 ． 题型：古典概率。 2．已知 ，，，求条件概率 ． 题型：条件概率，加法公式； 3．设随机变量的概率分布为，为常数，，求的值． （因，得） 4．若事件和满足，则和独立． 证： 因 化简得：， 故和独立. 5．将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误作的概率为，而 被误作的概率为，信息与信息传递的频繁程度为，求（1）接收站收到的信息是的概率；（2）若接收站收到的信息是，求原发信息是的概率． 题型：全概率公式与贝叶斯公式 接收站收到的信息是的概率 若接收站收到的信息是，则原发信息是的概率 ． 6．设随机变量，已知，，，求的值． 题型：正态分布化为标准正态分布；若，则 解：因 得 7．设随机变量服从的均匀分布，服从参数为的泊松分布，服从 分布，且，，相互独立，求方差 ． 题型：用重要分布的期望或方差，性质，求方差（或期望） 解：由题意 （方差的性质）， （用到均匀分布的方差为；泊松分布的方差为，正态分布的方差） 8．设随机变量服从指数分布，即其概率密度为，服从的的二项分布，X与Y的相关系数为，求. 解：因 （性质） （用到指数分布的方差=，二项分布的方差=；） 9．设随机变量的概率密度函数为， 求(1)常数；（2）的分布函数；（3）概率． 题型：一维连续型随机变量的题型 解：（1）因， 得， （2）的分布函数 （3）概率 思考：求期望， 方差 10．随机变量的分布律为 0 1 2 0 0．25 0．10 试确定常数； （2）的分布函数； （3）求概率. 解：（1）常数 （2）的分布函数 （3）概率 11.设二维随机变量的概率密度为 （1）求常数； （2）求关于和关于的边缘概率密度； 并问与是否相互独立？ （3）求概率. 解： (1) ;即，得 （2）关于的边缘概率密度 == 关于的边缘概率密度: == 显然当时; 所以与不相互独立. (3) == （或=+）= 12.设随机变量的概率分布律为： X Y 0 1 2 -1 0.3 0.1 0.2 1 0.1 0.3 0 求：（1）关于和的边缘分布律；（2）关于的分布律； （3），，协方差. 解：（1）关于的边缘分布律: 0 1 2 0.4 0.4 0.2 关于的边缘分布律： -1 1 0.6 0.4 （2）因的取值为 故的取值为: 0 0 -1 1 -2 2 所以的分布律为 -2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.4 0,3 0 （3） 故 故 13．设随机变量相互独立，且都服从相同的指数分布， 概率密度函数为，试用中心极限定理求概率的近似值. （结果用标准正态分布函数表示） 题型：中心极限定理，近似公式： 期望，为均方差 解：由题意，， 由中心极限定理概率 14. 设是来自总体的样本，（1）证明： ；； 是总体均值的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由） 证（1）因 同理，，故是总体均值的无偏估计量 解：（2） 同理 比较大小，得较有效 15.设总体具有概率密度,其中是未知参数.又为来自该总体的一个样本，为样本值.试求未知参数的矩估 计量与最大似然估计量. 题型：参数估计（点估计） 解：（1）求矩估计 因 令，得，故参数的矩估计量为. （2）似然函数 （注：，连乘） 取对数 （注：） 令 ，得 故的最大似然估计量为.（注：为大写） 16.设某种清漆的干燥时间服从正态分布，现随机地抽取9个样品，测得干燥时间的均值（小时