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复述和复变函数 1.5连续 若函数在的领域内（包括本身）已经单值确定，并且，则称f(z)在点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) 、、、在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的领域内(i) 、、、存在。 (ii)C-R条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域内(i) 、、、不仅存在而且连续。 (ii)C-R条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： +=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C—R条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C—R条件列微分方程 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲，积分的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿D内任一围线的积分都等于零。 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理：推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D内解析，在闭区域D的边界连续，则对于区域D的任何一个内点a，有其中是境界线。 2.5柯西导数公式 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数在境界上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m阶导数组成的级数在区域内也收敛，而且它们的和等于F(m)(z)。 3.3幂级数 阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数在点z0处收敛，则在任一圆|z-a|=p|z0-a|，0p1内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。 达朗贝尔(D’Alembert)判别法:对于幂级数，计算下列极限 (i)当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。 柯西判别法：计算极限 当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z处发散；极限值等于1时，不能判断 3.4解析函数与幂级数 定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。 Taylor级数： 3.5解析函数与双边幂级数 定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。 环形区域内的解析函数可展成双边幂级数 称为Laurant系数 3.8孤立奇点 非孤立奇点：若函数f(z)在z=a点的无论多么小的领域内，总有除z=a以外的奇点，则z=a是f(z)的非孤立奇点。 孤立奇点：若函数在z=a不可导(或无定义)，而在去心领域0|z-a|ε解析，则z=a是f(z)的一个孤立奇点。 3.9奇点分类 有限远奇点 极限性质 洛朗级数 可去奇点 limf(z)=有限值 不含负幂项 极点 limf(z)=∞ 含有限个负幂项 本性奇点 limf(z)=无定值 含无限个负幂项 无穷远点 极限性质 洛朗级数 可去奇点 limf(z)=有限值 不含正幂项 极点 limf(z)=∞ 含有限个正幂项 本性奇点 limf(z)=无定值 含无限个正幂项 留数 4.1柯西公式的另一种形式 一阶极点留数：若g(z)在单连区域D内解析，a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。 令f(z)=g(z)/(z-a)则有： 一阶极点留数的一种算法: 如果那么 m阶极点的留数公式 4.2用级数分析来分析留数定理 则有Res 多连区域的柯西定理:如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有 4.3无限远点的留数 定理1：如果当z→∞时，若zf(z)→0,则Resf(∞)=0 定理2： 4.4留数定理计算型积分 第一种类型：型积分 令 ｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝ 第二种类型：型积分 注意，需要满足条件 ｛在上半平面的奇点留数之和｝ （界限上的乘以0.5） 第三种类型：型积分 注意需要符合条件 ｛f(z)eimz在上半平面的奇点留数之和｝ 4.7围线积分方法 泊松积分： 菲涅尔积分： 第六章 积分变换 6.1傅里叶级数 三角函数系的正交性 2π周期-展开定理： 任意周期2l-展开定理： 6.2傅立叶