数值分析实验三.docVIP

毕节学院实验报告 实验名称： 数据拟合 实验报告序号： 3 组 别 35 姓 名 曾勇 同组实验者 无 实验项目 利用最小二乘法进行数据拟合 实验日期 2013年4月25日 实验类别 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验 □ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验； 教师评语 实验成绩 指导教师（签名） 年 月 日 实验目的： 进一步熟练掌握最小二乘多项式拟合算法，提高编程能力和解决拟合问题的实践技能。 实验任务与要求： 在某个低温过程中，函数依赖于温度的试验数据如下表： 1 2 3 4 0.8 1.5 1.8 2.0 已知经验公式的形式为，根据最小二乘法原理编制MATLAB程序求出，并做相应的理论分析。 小组分工合作说明： 实验过程及内容： 在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。设x和y的函数关系由理论公式 y＝f（x；c1，c2，……cm） （0-0-1） 给出，其中c1，c2，……cm是m个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。都对应于xy平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取m组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 yi＝f（x；c1，c2，……cm） （0-0-2） 式中i＝1，2，……，m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。显然Nm时，参数不能确定。 在Nm的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y的观测值yi围绕着期望值 f（x；c1，c2，……cm） 摆动，其分布为正态分布，则yi的概率密度为 , 式中是分布的标准误差。为简便起见，下面用C代表（c1，c2，……cm）。考虑各次测量是相互独立的，故观测值（y1，y2，……cN）的似然函数 . 取似然函数L最大来估计参数C，应使 （0-0-3） 取最小值：对于y的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子，故式（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值yi的偏差的加权平方和为最小。 根据式（0-0-3）的要求，应有 从而得到方程组 （0-0-4） 解方程组（0-0-4），即得m个参数的估计值，从而得到拟合的曲线方程。 然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若yi服从正态分布，可引入拟合的x2量， （0-0-5） 把参数估计代入上式并比较式（0-0-3），便得到最小的x2值 （0-0-6） 可以证明，服从自由度v＝N-m的x2分布，由此可对拟合结果作x2检验。 由x2分布得知，随机变量的期望值为N-m。如果由式（0-0-6）计算出接近N-m（例如），则认为拟合结果是可接受的；如果，则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。 把化为线性二乘拟合，即： 于是就可以写编程序了。先写一个主程序zxecf.m，然后写一个被调用程序phi_k.m Matlab程序如下： function S = zxecf(x,y,n,w) global i;global j; if nargin 4 w = 1; end if nargin 3 n = 1; end phi2 = zeros(n+1); for i = 0:n for j = 0:n phi2(i+1,j+1) = sum((w.*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j)); end end phif = zeros(n+1,1); for i = 0:n phif(i+1) = sum((w.*phi_k(x,i)).*y); end S = phi2\phif; function y = phi_k(x,k) if k == 0 y=ones(size(x)); else y=x.^k; end 现在就在Matlab命令窗口输入如下命令： x = [1 2 3 4]; y = [0.8 1.5 1