放缩法证明数列不等式的几种类型和途径（上传）.docxVIP

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教.根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分.常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式.而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列.下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论:途径1:放缩为类.例1.求证：证明：注1：此题若放缩为,则可证明.注2：⑴此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“裂项法”求和的新数列，下面的几个例子并不一定是放缩为. ⑵此类型的特征是：通项的结构常与正整数的幂有关.同类不等式还有：⑴（从第三项起放缩为：=）注3：若第三项放缩为，则可证明.⑵（从第三项起放缩为）⑶ (n1) (从第二项起放缩为：，再累加可得)⑷ (n1)（从第一项起放缩为：，再累加得：左式中式=右式）⑸ (n1) (从第二项起放缩为： =，再累加得：左边)途径2:放缩为等比类.例2.求证：证明：例3.证明1：利用不等式：若,则则有：证明2：利用(后面例8将证) 原不等式(真分数的性质) (*)现证(*)：(均值不等式)注：⑴此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“错位相减法”求和的新数列（常常是等比数列），有的题例子并不严格是放缩为等比数列（如同类不等式的⑷）.⑵此类型的放缩手法多样：可以简单地放大缩小分子分母（如同类不等式的⑴），或利用重要的不等式（例3），或采用固定的程式放缩（如例2，同类不等式的⑵、⑶）等.⑶此类型的特征是：通项的结构常与正整数的指数式有关.同类不等式还有：⑴(从第三项起放缩为：)⑵(∵,∴从第四项起放缩为：)⑶(∵,∴从第一项起放缩为：).⑷（从第二项起放缩为：得：左）途径3:放缩为(高阶)等差类.例4.已知为其前n项和.⑴求证:当时,有; ⑵证明：⑴用导数证明，略.⑵注：⑴此类型的实质就是直接利用函数不等式进行放缩.至于何时使用此法，一是看不等式的结构，二是多数情况下题目要给出提示.⑵此类型的特征是：不等式的结构常与函数不等式有关.常见函数不等式如下:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧同类不等式还有：1.⑴求证：当x-1时有：；⑵求证：.证明：⑴由导数易证，略.⑵由⑴的结论：取从而有：，从而原不等式成立.途径4:增大（减小）分子（分母 ）或被开方数放缩类.例5.求证：证明：例6.求证：证明：①∵＞②∴①+②得：＞原不等式成立.注：⑴此类型的放缩手法常见的有：增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数等.⑵此类型的特征是：通项的结构常与正整数的分式、根式有关.同类不等式还有：⑴2()＜1+＜2(从第一项起放缩为：2(,再累加可得)⑵ (由累加可得)途径5:利用二项式定理放缩类.例7.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞证明一：原式（1+）（1+）（1+）…（1+）＞2n+1∵（1+）=1+＞1+∴（1+）（1+）（1+）…（1+） ＞=2n+1∴原不等式成立.注1：⑴证明二,证明三分别见例9,例10.⑵也可用对偶式进行放缩：设A=,B=显然A＞B,∴A＞AB==2n+1例8.求证：2≤（1+＜3 (n≥1)证明：=C+C+C≥C+C=2=C+C+C=1+1+ ≤1+1+≤2+ =3-＜3注2：此类型的特征是：不等式的结构常与二项式有关.同类不等式还有：⑴①2≥2n+2 (n≥3);②2≥ (n≥2);③3≥(n+2)2 (n≥1)⑵（1+）（1+）（1+）…（1+）＞ (n≥1)(从第一项起放缩为:)⑶n＞(n+1) (n≥3)（≤）⑷(1+＜(1+ (n≥1)法一：(=)（法二见途径6练习）途径6:利用均值不等式放缩类.例9.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞ (前面例7之证明二)证明二:左边= 右边同类不等式还有:⑴＜(从第一项起放缩为:,再累加)⑵(左右边)⑶(1+＜(1+ (n≥1)（(1+=）途径7:利用数列单调性放缩类. 这是证明数列不等式的一大类方法,即构造一个新的数列,通过判断其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都可以用此法进行证明.常见的构造方法是作差或作商.例10.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞