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含参变量积分 例1 研究函数 的连续性，其中是上连续且为正的函数。 解 令，则在连续，其中。从而在连续。 当时， 当时，记 ，则 若存在，则 故在不连续。 或用定积分中值定理，当时， ，使 若存在，则 故在不连续。 问题1 上面最后一个式子能否写为 。 事实上，是依赖于的，极限的存在性还难以确定。 例2 设在连续，求证 （其中 ） 满足微分方程 。 证 令，则 ， 它们都在上连续，则 例 3 设为连续函数， 求。 解 令，则 在第一项中令，在第二项中令，则 问题2 是否有 例4 利用积分号下求导法求积分 ， 解 令 时，无定义，但，，故补充定义 ， 则在连续（），从而在连续。 显然在点不连续，但分别在和连续，故有 ， 或 令 ， 或 积分之 ， ， 因为在连续，故 得，从而得 ， 例 5 利用积分号下求导求积分 ， （为正整数，） 解 因为 ， 而 收敛，故 在一致收敛。 因为 故 由数学归纳法易证 于是 例6 证明（1）关于一致收敛； （2）关于不一致收敛。 证 （1）用分段处理的方法。 ，， 令 得 因为 ，则 ，，当时，有 （1） 又 ， 而 收敛，由M判别法，在一致收敛，即，，，有 ， （2） 上式对显然成立，结合（1）（2）式，有 ， 即关于一致收敛。 （2）因为时，发散，因此关于不可能一致收敛。 例7 计算积分 。 解 令 在第二项积分中令 ，得 故 1