(MATLAB与工程应用)第5章（函数2).pptVIP

5.4.1.3 常微分方程初值问题的数值解法 一. 龙格－库塔法简介 一般高阶微分方程总可以写成一阶常微分方程组, 可以应用龙格－库塔法求解. 如: =fj(t,y1,y2 ,…,yn)j=1 , 2 , … , n 四阶龙格－库塔法的计算公式为: 其中K与方程及步长有关. 二. 龙格－库塔法的实现 基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为： [t,y]=ode23(fname,tspan,y0) [t,y]=ode45(fname,tspan,y0) 其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。 例5-17 见MATLAB –HELP---ODE45---EXAMPLE1 例5-18 求解著名的Van der Pol方程。 y(1)’’ - 1000*(1 - y(1)^2)*y(1)’ +y(1)=0; 见MATLAB –HELP---ODE45---EXAMPLE2 例5-19 画Van der Pol方程的极限环。 画位移速度曲线，将1000改为0.01，初始条件改为[0，2] 5.4.1.4 函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数fmin和fmins，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为： x=fmin(fname,x1,x2) x=fmins(fname,x0) 这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名，x1和x2限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值向量。 MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。 例5-20 求f(x)=x3-2x-5在[0,5]内的最小值点。 (1) 建立函数文件mymin.m。 function fx=mymin(x) fx=x.^3-2*x-5; (2) 调用fmin函数求最小值点。 x=fmins(mymin,0) x= 0.8165 5.4.2MATLAB数值积分与微分 5.4.2.1 数值积分 5.4.2.2 数值微分 5.4.2.1 数值积分 一. 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。 二. 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 例5-21 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77 2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 例5-22 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8(fx,0,pi) I = 2.4674 例5-23 分别用quad函数和