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巧用数学方法处理物理极值问题 江苏省江阴市第一中学 傅永祝（中教二级 内容提要： 本文旨在通过一些关于极值问题的典型例题，如求追赶问题中怎样的情况下相距最近？小球从斜面下来怎样可以使时间最短？拉着物体在水平面上匀速运动怎样施力可以使所加力最小？在电路中，怎样可以使电阻消耗的功率最大？在电场中，哪一点的电场强度最大？通过这些例题，展示一些数学方法在处理物理物理问题上的优越性，使学生认识到，扎实的数学功底对于学好物理这门课程有很大的意义。 关键词：极值问题 二次函数配方法 三角函数法 基本不等式法 极值问题在物理课程中是常见的一类问题，对于此类问题，如果能结合一些数学上的判定方法，处理此类问题往往能达到事半功倍的效果。 二次函数配方法 把二次函数y=ax2+bx+c配方得，若a0，则当时，y有极小值：；若a0时，则当当时，y有极大值：。如果一个物理问题能建立y=ax2+bx+c的数学模型，就可以用上述方法求出其极值。 一辆汽车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0=25m处，与车运动方向相同的某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？ 解析 当经过时间t后，汽车前进的位移为 而人前进的位移为 此时人、车相距的距离为 代入相关数据可得 上述表达式中，是t的二次函数，从该函数式一下子就可以看出，不可能等于0，即人不可能追上汽车，还可以看出，当t=6s时，人、车具有最短距离min=7m。 三角函数法 三角函数里有很多关系式，如：、、等. 有时，处理物理极值问题时，这一类关系式是很需要的。 给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？ 解析 如图，设从屋顶A到屋檐B的水平距离为L，且斜面AB的倾角为θ。 当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为a=gsinθ,从A到B的距离为L/cosθ,设从A到B所用的时间为t，则 得 当2θ=90o，sin2θ有最大值：（sin2θ）max=1。 所以，当θ=45o时，t有最小值：tmin= 重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？ 解析 木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F的值最小，木块受力分析如图所示，由平衡条件知： Fcosα-μN=0 Fsinα+N-G=0 解以上二式得 令 ，则， 可见，当α=时，F有最小值。即 基本不等式法 若a0、b0，则有基本不等式，且当a=b时取等号，如果变量a与b的积是个定值，则其和有极小值：（定值）；如果变量a与b的和是个定值，则其积有极大值：（定值）。 在图示的电路中，电池的电动势E=5V，内电阻r=10Ω，固定电阻R=90Ω，R0是可变电阻，在R0由零逐渐增加到400Ω的过程中，可变电阻R0上消耗的热功率达最大时R0为多大？最大值是多少？ 解析：令R+r=R’ 电路中的电流强度为 可变电阻R0上消耗的热功率为 由于（定值），故具有最小值，即 当R’=R0，即R0=100Ω时取等号。 就是说，当R0=100Ω时，可变电阻R0上消耗的热功率最大。 最大热功率为 已知带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？ 解析 设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，则 ① 又有 ② 由①②可得 ③ 将③式左右都平方，并整理成 由于（定值） 则存在极大值。即 所以 当，即时取等号。 就是说，当（差不多是55o）时，P点的电场强度最大： 从以上各例当中可以看出，扎实的数学功底在处理物理问题当中显得很重要，这要求同学们在平时的练习中需要经常地有意识地训练自己、提升自己运用数学知识的能力。 参考资料：无