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大数定律与中心极限定理的若干应用 摘要：在概率论中，大数定律是比较重要的内容，他主要就是以严格的数学形式来表达概率中随机现象的性质，也是一定稳定性的表现。大数定律在数学的应用中比较重要，一般都是利用大数定律和中心极限定理一起来应用。本文根据在不同的条件下存在的大数定律和中心极限定理做了具体的分析，对几种比较常见的大数定律进行了介绍，结合他们条件的不同，分析了不同数学模型的特定，并在各个领域应列举它们的应用。这也是将理论具体化的一种表现形式，使得大数定律与中心极限定理在实际的生活中应用更加广泛，应用价值更深一层。 关键词：大数定律；中心极限定理；应用；范围 1前言 大数定律是概率历史上第一个极限定理。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常见的大数定律有伯努利大数定理、辛钦大数定律、重对数定理等等。中心极限定理是是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。的偏差也是越来越小。这种思想贯穿在整个的概率理论中，并且占有着重要的左右，在其他的数学领域中占有着重要的地位，中心极限定理与大数定律相比就更加详细，中心极限定理是在严格的数学形势下阐明的条件，无论总体是怎样分布，样本的平均值都是呈正态的形式分布，中心极限定理也是以正态分布作为广泛的理论基础应用。目前无论是在国内还是在国外，大数定律与中心极限定理已经被广泛的研究，尤其是在实际生活中的应用，银行业就是根据中心极限定理来发展，而大数定律更是应用在保险行业，很多研究者在这个领域都研究了具有一定价值的成果。推广大数定律与中心极限定理的应用问题是一个非常有研究价值的方向，通过这些问题来不断的推广，这样不仅仅能够加深大叔定理与中心极限定律的理解，并且很多问题也能够加以解决。 2相关定义定理以及应用 2.1相关定义 定义：设是一个随机变量序列，是一个常数，若对于任意正数，有， 则称序列依概率收敛于.记为. 切比雪夫不等式 设随机变量具有有限的期望与方差，则对，有 或 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设，则有 该不等式表明：当很小时，也很小，即的取值偏离的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 定理1（切比雪夫大数定律） 设是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数，使，则对任意的，有[即] 证明：由切比雪夫不等式知：有： 该定理表明：当很大时，随机变量的算术平均值接近于其数学期望，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条件下，个相互独立的随机变量算术平均值，在无限增加时将几乎变成一个常数。 推论：设是相互独立的随机变量，由相同的数学期望和方差，则有 （即以概率收敛于） 这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值，然后用其平均值来代替。 定理2（De Moivre-Laplace极限定理）(定理1的特殊情形) 设是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为，则对有 。 该定理也可改写为：，有 证明： 令 则 为独立同分布的随机变量序列,且均存在 显然：，此时 该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。 2.2几个大数定律的关系及适用场合 2.2.1伯努利定理是泊松定理的特例 泊松定理是指在一定的时间段内，平均若干次发生的时间，有的时候会多，有的时候会少，发生的次数是随机的时间，这也使泊松分配。 若是Pk=p,则泊松大数定理也就是伯努利大数定理，伯努利大数定理也完全证明了时间在完全相同的条件下进行重复的试机实验，并且频率比较稳定，随着n的无限增大，n在试验中叶氏趋近于稳定，与A出现的频率的平均值比较接近。 2.2.2泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例 在泊松的大数定理的条件中，，也能够满足切比雪夫大数定律的条件。 2.2.3切比雪夫大数定律是马尔科夫大数定律的特例 在切比雪夫大数定律中，根据随机变量序列两两不相关的性质可以了解到， ，根据这样的式子也能够看出满足马尔可夫大数定律的条件。由此可见，伯努利大数定律与泊松大数定律都是马尔可夫大数定律的特例。伯努利大数定律也使辛钦大数定律的特别情况。在伯努利的大数定律中，由于随机变量时可以变化的，则必然会是独立分布的，并且都会服从伯努利分布的基本情况：，并且，所以这样的公式必然会满足辛钦大数定律的条件。但是辛钦大数定律并不