单电子原子.docVIP

5.3 角動量、磁矩、能階的精細構造 5.3.1 軌角動量算機及其本徵值 □ 軌角動量算機（orbital angular momentum operator） 軌角動量. 在量子力學裡.有三個分量：, etc.. 不難證：, , 而 因此，, , 三者不能對易，意指角動量的三個分量不能同時測準（除非是遇到角動量為零的特殊情況）。, 因此，角動量的大小與角動量的一個分量可同時測準。 比對上節知：，。因此與的本徵值各為與。給定一l，可有個。 □ 以向量模型（vector model）顯示量子力學裡角動量的性質──角動量的大小與取向都是分立的，且沿z軸「旋轉」: ──z軸方向乃由測量決定（例如外加磁場或電場） 又，, . 所以，三者有共同的本徵函： , , . 5.3.2 儀角動量算機及其本徵值 □ 儀角動量算機（spin angular momentum operator） Stern-Gerlach實驗已發現電子的「內稟雙態性」（intrinsic two-states）。另外，原子光譜實驗也發現為解釋原子的多重態（multiplet structure），必須引入新的量子數。這一新量子數應只有兩值，且有角動量的性質。曾有人認為與電子「自旋」（spinning）有關，但後來知道不可能（如果是「自旋」，必須極快──快到違犯相對論，才能解釋電子內稟磁矩的大小）。Pauli於是問：有沒有一種算機（），其性質與角動量相似，但其本徵值只有兩值？ 答案是：有的。Pauli定義矩陣（Pauli matrices）：. 再定義。 易證： 而 , ；與的本徵值各是與。於是定義， 與的本徵值各是與；。 的算學性質與軌角動量算機相同，所不同者：屬微分算機，屬矩陣算機。 □ 術語：稱為spin angular momentum operator（儀角動量算機）。s稱為spin quantum number或簡稱spin（儀數）。稱為spin magnetic quantum number（儀磁量子數）。 是為「上儀」，可記為；是為「下儀」，可記為。 考慮儀量子數後，單電子原子本徵態的態幅可記為（包含四個量子數）。或以「儀量」（spinor）表示：時是，時是。稱「位宇態幅」（space state amplitude），或稱儀態幅（spin state amplitude）。能階的簡併度於是從增為。 總角動量算機定義為。因為屬微分算機，屬矩陣算機，各不相同，故易證, . 可證：與的本徵值各是與, , j稱為總角動量量子數（total angular momentum quantum number）。給定一j，可有個。如果，；如果，。 l 0 1 2 3 … j , , , 5.3.3磁矩 □ 磁矩（magnetic moment） 在電磁學裡，如線圈中有電流，線圈的磁矩與角動量有一定關係。電子在原子裡作軌道運動（週期T），則有磁偶極矩（magnetic dipole moment以下簡稱磁矩）：. 稱電子的磁轉比（gyro-magnetic ratio）。量子力學裡。 設儀角動量也會造成磁矩：，稱spin g-factor，其值由實驗定之。於是. 將原子放在外加磁場中，則原來的Hamiltonian operator（能量算機） 。在Stern-Gerlach實驗裡，銀原子（其淺層只有一電子，可視為單電子原子）的l=0 ，所以， . 與可對易，所以他們有同樣的本徵態，的本徵值遂直接求得：，其中是為波爾磁矩元（Bohr magneton）。因為有兩值，這就解釋了為何Stern-Gerlach實驗裡銀原子束分為兩道。Stern-Gerlach實驗發現銀原子束在外加磁場中的能量約為 ≒2（後來實驗精確值為2.00232）。 ，a與r有關；此稱儀軌交互作用（spin-orbit interaction）。細節不必考慮，增加此項的結果是：與不再是 ‘good quantum numbers’（佳量子數），於是需要另四個量子數：n, l, j, mj。其間關係可用向量模型圖示（與不再守恆，總角動量則守恆；與繞著旋轉）： □ 能階的精細構造與光譜的多重線構造 同l而不同j的能階於是不再簡併，此稱能階的精細構造（fine structure）。引入能階的記號（notation），於是只有一種，則有與之別，有與之別，等等。光譜線躍遷的規則（選擇規則，selection rules）從實驗歸納得到，為：, 。 是因為在電偶極輻射（平均時間～10－8 s）時，態幅的奇偶性必須改變；是因為放出光元的角動量必為一單元，而放光前後的總角動量守恆。 例如著名的Hα線（3s→