导数的应用.ppt

1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值 归纳总结： 应用一:函数的单调性(求函数的单调区间时,首先确定函数的定义域 ) 应用二:函数的极值(求极值时应采用列表的方法) 应用三:函数的最大值与最小值(要注意极值和最值的区别) * 洪泽外国语中学 程怀宏 … 导数主要有哪些方面的应用? 应用一、判断单调性、求单调区间 函数的导数与函数的单调性之间的关系？ 判断函数单调性的常用方法： （1）定义法（2）导数法 1)如果在某区间上f′(x)0，那么f（x）为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)0，那么f（x）为该区间上的减函数。 一般地，设函数y＝f（x）， a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数。 要点·疑点·考点 设 f(x)=x3- x2-2x+5，求函数 f(x) 的单调递增、 递减区间; 1 2 例1： 解: (1) f?(x)=3x2-x-2, 令 f?(x)0 得 - x1; 2 3 令 f?(x)0 得 x- 或 x1. 2 3 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- , 1); 2 3 单调递增区间是 (-∞, - )和(1, +∞). 2 3 说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用 连接，只能用逗号分开写，或者可用“和”连接。 由 即 得x-1或x1. 解:函数的定义域是(-1,+∞), 又因为函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞); 由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1). 练习1:求函数f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间: 说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间时,一定首先要确定函数的定义域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集. 求函数的单调区间的步骤： （1）求定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f `(x) ＞0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （4）求解不等式f``(x) ＜0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 练习2：求 的单调减区间 练习3、（浙江卷）设?/(x)是函数?(x)的导函数,y=?/(x)的图象如右图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是 ( ) x y O 1 2 x y O 1 2 (A) x y O 1 2 (B) x y O 1 2 (D) y x 1 2 (C) y=f(x) 例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围 . ∵函数f（x）在R上是减函数 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值. 函数极值的定义—— 导数的应用二、求函数的极值 y a b x1 x2 x3 x4 O x 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点. f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 极值和导数 x2 导数为0的点不一定是极值点； 极值点处的导数不一定是存在的； 若极值点处的导数存在，则一定为0，且极值点两侧导函数异号。 ①如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)0, 右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值. 判别函数f(x)在f(x0)是极大(小)值的方法是: 左正右负为极大值，左负右正为极小值。 例1:判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值； ②函数在极值点必有定义； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 ② 例2：求f(x)=x3-12x+1的极值. 列表: