第2章随机变量及其分布第4节综合讲练.docVIP

Ⅰ、全面学习基本内容（见教材、课件） Ⅱ、概括内容提要（见教材、课件） Ⅲ、归纳常见题型（必做题） 题型一 利用连续型随机变量的密度函数、分布函数的定义、性质及常用结论求解有关问题 【补例2.4.1】～【补例2.4.4】； 【例1】（第2版课件补充），【例2】（第2版课件补充），【例3】（例1 P45）； 【习题2-4 EX1】, 【习题2-4 EX2】, 【习题2-4 EX3】, 【习题2-4 EX4】； 【总习题二 EX7】，【总习题二 EX9】，【总习题二 EX10】，【总习题二 EX11】， 【总习题二 EX12】. 题型一 利用连续型随机变量的密度函数、分布函数的定义、性质及常用结论求解有关问题 提示 利用P43定义1及有关性质、结论 辨析 1、连续型随机变量及其概率密度的定义 对比P43定义1 设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对任意实数，有 （） 则称 为连续型随机变量 为连续型随机变量的概率密度函数（简称概率密度） 的图形为概率密度曲线 注意 （） 为图中阴影部分面积 2、连续型随机变量的概率密度的性质及常用结论 设为连续型随机变量的概率密度，则有性质： （1）非负性， （2）规范性， 注意 （1）如果满足：1）非负性、2）规范性，则必为某一连续型随机变量的概率密度；否则，不能作为连续型随机变量的概率密度； 可证， （2） 其数值含义为：在轴上点处，的取值落在单位长度上的概率，它反映了的在点附近（而非单个点）取值的可能性的大小； （3）当时， 即 常用结论 （1）连续型随机变量在单个取值点取值的概率为零，即对任意实数，有 （ 在§1.3中已说明，概率为零的事件不一定是不可能事件） ※【证明】 （） （2）连续型随机变量在某一区间内取值的概率与其取值是否包含区间端点无关，添加（去掉）区间端点不影响随机变量在该区间内取值的概率，即对任意实数、，有 换为“” （ 换为“” ）后，上式仍然成立 若为实数域上的任何区间，则 即，连续型随机变量在区间内取值的概率等于其概率密度函数在区间内的积分 若为实数域上的任何区域，则 即，的取值落在区域内的概率等于其概率密度函数在区域内的积分 3、连续型随机变量的分布函数 （1）定义 （在连续型随机变量及其概率密度函数的定义中，已经同时定义过） 设连续型随机变量的概率密度函数为，则的分布函数为 （） 即，连续型随机变量的分布函数为其概率密度函数在无穷区间内的积分（广义积分），等于下图中阴影部分的面积 （2）性质 设连续型随机变量的概率密度函数为，分布函数为，则 ① 是区间上的连续函数，即对任意实数，有 （在任意点处的极限值等于函数值） ② 在的连续点处，有 （分布函数为是概率密度函数的一个原函数） 归纳 连续型随机变量的分布函数除了具有上述条性质外，还满足随机变量的分布函数的基本性质--- ① 是非减函数，即对任意实数，有 ② ， ③ 至多有可列多个间断点，对任意实数，在点处右连续，即 （在点处的右极限值等于函数值） 或 （） （有界性） （3）常用结论 对任意实数、，有 注意 换为“” （ 换为“” ）后，上式仍然成立 【补例1.4.1】设为连续型随机变量，其分布密度函数为 （1）试确定常数的值； （2）求出的分布函数； （3）计算； （4）求. 【解】利用定义，求的概率密度中的待定常数、的分布函数；利用常用结论求在某区间（或某点）取值的概率 （1）确定常数的值 由连续型随机变量的概率密度的性质（规范性），知 （） 解出 即，连续型随机变量的分布密度函数为 （2）求的分布函数 由连续型随机变量的分布函数的定义，得 （） 其中的概率密度函数为 讨论积分上限（ 任取）的不同取值范围，分为 利用积分的有关计算方法出的分布函数 （） 即 （3）计算 利用分布函数，求出 另解 利用概率密度函数，求出 （） 较繁！ （4）求 利用已知结论，得 【补例2.4.2】设连续型随机变量的分布密度函数为 （ ） （1）试确定常数的值； （2）求出的分布函数； （3）计算. 【解】利用定义，求的概率密度中的待定常数、的分布函数；利用常用结论，求在某区间（或某点）取值的概率 （1）确定常数