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3 效用函数 3.1 效用的定义 3.2 效用的公理系统 3.3 效用函数的构造 3.4 风险与效用 3.5 货币的效用 3.6 阿莱斯悖论(Allais’s paradox) 3.1 效用的定义 效用（utility）：消费者从消费商品中得到的满足程度。 效用完全是消费者的一种主观心理感受。 满足程度越高，效用越大； 满足程度越低，效用越小。 对效用的理解:《最好吃的东西》 兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。 兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起萝卜就要流口水。” 猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起来又酥又松，味道美极了！” 兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。 猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？ 3.1 效用的定义 在定量评价可能的行动的各种后果时，会遇到两个主要问题: (1) 后果本身是用语言表述，可能没有任何合适的直接测量标度。 (2) 即使有一个明确的标度可以测量后果，按这个标度测得的量也可能并不反映后果对决策人的真正价值。 3.1 效用的定义 3.1 效用的定义 圣彼得堡悖论(St. Petersburg Paradox/game) 圣彼得堡悖论的解释1： 圣彼得堡悖论的解释2： (二)风险厌恶论 圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏有一半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元和2元。奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加人一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。 圣彼得堡悖论的解释3： 圣彼得堡悖论的解释4： (四)结果有限论 Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果值的大小限制在一定的范围内。 这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。 比如对游戏设定某一个投掷的上限数L，在投掷到这个数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你还能再投多少，就按照L付钱。因为你即便不设定L，实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的，任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期望值自然也就可以计算了。 小结： 由上面例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策的人心目中各种后果的偏好次序（preference order）的问题。 偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理（身体）状态有关。 3.2 效用的公理系统 3.2.1 效用的数学描述 3.2.2 效用存在性公理 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 3.2.4 基数效用与序数效用 3.2.1 效用的数学描述 3.2.1 效用的数学描述 3.2.1 效用的数学描述 3.2.1 效用的数学描述 (4) 展望(prospect) 复合展望 3.2.1 效用的数学描述 3.2.1 效用的数学描述 3.2.2 效用存在性公理 定义3.1给出了效用函数的最基本性质，这就是可以根据它的大小来判断展望P的优劣。 但是这样的效用函数是否一定存在呢?回答是不一定。 至于决策人的价值判断在满足什么条件时存在与之一致的效用函数，von Neumann-Morgenstern (1944)给出了效用的存在性公理，又称理性行为公理。 3.2.2 效用存在性公理 式(3.3)推导: 例3.3 横过马路问题:效用有界性证明 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 3.2.3 效用函数的存在性 3.2.4 基数效用与序数效用 基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1 基数性效用函数与序数效用函数区别： 基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布),是实数；序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数. 基数效用反映偏好强度(正线性变换下唯一， 即原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. ） 序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为16,9,4,