第十一章 级 数.doc

第十一章 　无穷级数 考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与Leibniz定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛数的求法 初等函数的幂级数展开式 考试要求 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及与收敛的必要条件 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法 掌握交错级数的Leibniz判别法 了解任意项级数的绝对收敛域条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念（数三不要求） 理解幂级数收敛半径的概念并掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及其收敛域的求法 了解幂级数在其收敛区间内的性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数 了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件 掌握的展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点内容与常见题型 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛 求幂级数的收敛半径、收敛域 求幂级数的和函数或求数项级数的和 将函数展开为幂级数（包括写出收敛域） 综合证明题 11.1 数项级数的概念和敛散性的判别法 基本内容 数项级数的概念和基本性质 式子叫做无穷级数，叫做级数的一般项 级数的前n项的和称为级数的部分和 若部分和数列的极限存在，则称级数收敛，并称此极限值S=为级数的和，记作S= 若不存在，则称此级数发散，发散的级数没有和 基本性质： 设，则与同敛散；且当其收敛时，=k 收敛级数的和（差）仍收敛，且有 在级数中加入或去掉有限项，不影响级数的敛散性 收敛级数加括号后所成新级数仍收敛，且其和不变 级数收敛的必要条件是 注：对于级数，以下是一些基本事实： ①若两个级数与，一个收敛，一个发散，则发散；若与均发散，则级数的敛散性不定 ②若级数加括号后所得的新级数发散，则原级数必发散；级数加括号后所得的新级数收敛，原级数的收敛性不定 ③性质（5）只是级数收敛的必要条件，而或不存在时，级数必发散.这一点是经常使用的 正项级数审敛法（充分条件） 若，则称为正项级数.正项级数的特点是部分和序列是单调递增的，而单增序列收敛序列有上届，由此可见：正项级数收敛部分和序列有上届.这正是正项级数敛散性判别法的基础 比较审敛法： 若，则 常用的比较级数为等比级数（又称为几何级数）和p级数等： 等比级数 P级数 级数 比较审敛法极限形式为：若，则 当时，与同时收敛或同时发散 当时，收敛收敛 当时，发散发散 注：由比较判别法可推出如下的快速判别法： 设，由比较判别法的极限形式可知：若当时，是等价无穷小时，则正项级数与同敛散；若当时，是高阶无穷小，收敛，则正项级数收敛 比值审敛法（D’Alembert判别法） 若，当时，收敛； 当时，发散； 当时，敛散性不能确定 根值审敛法（Cauchy判别法） 若，当时，收敛； 当时，发散； 当时，敛散性不能确定 注意：比值判别法与根值判别法是充分但非必要的，即由（）收敛不能推出1或1 交错级数的莱布尼茨审敛法 设交错级数，则当，且时级数收敛，且其和，其余项的绝对值 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 若收敛，则也收敛，称是绝对收敛 若收敛而发散，则称是条件收敛 注： 任意项级数审敛法对交错级数适用 数项级数敛散性判别的程序如下： 注：①对一般项级数，如果用正项级数的比值判别法或根值判别法判定，若得收敛，则收敛；若得发散，则发散 ②在数项级数敛散性判别时，要注意灵活运用级数的有关性质 解题方法、技巧与例题分析 例 11.1.1（1987，I，II）选择题：设常数k0，则级数 发散 （B）绝对收敛 （C）条件收敛 （D）收敛或发散与k的取值有关 【　　　】 解①：当时，与是等价无穷小，所以发散 又单减，由Leibniz法则可知，原级数条件收敛，故应选（C） 解②：因，又绝对收敛，条件收敛，所以原级数条件收敛，故应选（C） 例 11.1.2（1992，I，II）选择题：级数（常数） 发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性与有关 【　　 】 解：因为当时，与是等价无穷小，