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幂指对函数复习专题讲座 一．幂函数 1.定义形如的函数叫幂函数，其中为常数，在中学阶段只研究为有理数的情形. 2.根据幂函数在第一象限内图像分析函数性质 （1）图像必过点时，过点，且随x的增大图像向y轴方向延伸在第一象限是增函数时，图像是直线y=x。在内是增函数时随x的增大图像向x轴方向延伸在第一象限是函数时，随x的增大函数图像与x轴、y轴无限接近，但永不相交。； ③、 Q）;④ Q）; ⑤.（注）上述性质对r、R均适用. 2．对数的概念： (1)定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数. ①以10为底的对数称常用对数，记作， ②以无理数为底的对数称自然对数，记作 (2)基本性质： ①真数N为正数（负数和零无对数）; ② ; ③;④对数恒等式：. (3)运算性质：如果则 ①;②; ③;④; ⑤ ⑥换底公式： ⑦，⑧ 3.指数函数 （1）指数函数的定义 一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. （3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x=0时，y=1. ④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数. 4. 对数函数 （1）对数函数的定义 函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0. ④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 5.指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2． ? (注)指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数． 6.抽象函数 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数： 一次函数型抽象函数 （2）指数函数型抽象函数 （3）对数函数型抽象函数 （4）幂函数型抽象函数 三．典型例题 【例1】 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取±2、±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（ ） （A） -2，-，，2. （B） 2, , -,-2. （C） -,-2, 2, . （D） 2, , -2，-. 【例2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） y = x1/2 ； （6） y = x1/3 ；（7） y = x4/3 ； （8） y = x –1/2 ； （9） y = x5/3 . y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） 【例3】解答下述问题： （1）计算： （2）计算. （3）化简： （4）已知：值. 【例4】已知函数. (1)若定义域为R，求m的取值范围；(2)若值域为R，求m的取值范围. 【例5】 函数的图象是（ ） 【例6】若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值； （2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）. 幂指对函数练习题 一．选择题： 1.若，则= （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 2.若，那么等式成立的条件是 （ ） A、 B、 C、 D、 3.已知ab0，下面四个等式中，正确命题的个数为（ ） ①lg（ab）=lga+lgb　②lg=lga－lgb　③ ④lg（ab）= A．0 B．1 C．2 D．3 4.已知x=+1，则log4（x3－x－6）等于（ ） A． B． C．0 D． 5.已知m0时10x=lg（10m）+lg，则x的值为( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 6.若logab·log3a=5，则b等于( ) A．a3 B．a5 C．35 D