双曲线的简单几何性第质一课时.docVIP

? 【自学导引】 1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内． 2．双曲线＝1(a＞0，b＞0)关于两个坐标轴和原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 3．在双曲线的标准方程＝1(a＞0，b＞0)中，点A1(－a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点．线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2(B1(0，－b)，B2(0，b))叫做双曲线的虚轴．直线叫做双曲线的渐近线． 4．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 5．双曲线的，叫做双曲线的离心率． ? 【思考导学】 1．对于双曲线＝1(a0，b0)，a、b、c间的关系为c2＝a2＋b2，实轴长为2a，实半轴长为a，虚轴长为2b，虚半轴长为b，焦距为2c，半焦距为c． 2．双曲线＝1(a0，b0)的几何性质： (1)范围：在不等式y≥a与y≤－a所表示的区域内． (2)对称性：关于两个坐标轴和原点对称． (3)顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)实轴为线段A1A2，虚轴为B1B2(B1(－b，0)、B2(b，0))． (4)渐近线为直线y＝±x． (5)离心率为焦距与实轴的比e＝． 3．双曲线的渐近线为由过实轴两端点和过虚轴两端点且平行于坐标轴的直线围成的矩形的对角线所在的直线． 4．由于ca，所以双曲线的离心率e1． ? 【典例剖析】 ［例1］已知双曲线的方程b2y2－a2x2＝a2b2(a＞0，b＞0)，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程＝1， 由此可知，实半轴长为a，虚半轴长为b， c＝． 焦点坐标是(0，－)，(0， )． 渐近线方程为x＝±y，即y＝±x． 点评：双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x，双曲线＝1的渐近线为x＝±y，即y＝±x，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点． ［例2］求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率． 解：双曲线的渐近线方程可写成＝0，因此双曲线的方程可写成＝λ(λ≠0) ∵焦点在x轴上，∴λ＞0 把双曲线的方程写成＝1 ∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝ 故所求双曲线的标准方程为＝1 ∵a2＝，即a＝， ∴双曲线的离心率e＝． 点评：渐近线为＝0的双曲线方程总是＝λ(λ≠0)，可利用矩形对角线证明． ［例3］等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点．求证： (1)∠MA1N＋∠MA2N＝180°； (2)MA1⊥A2N，MA2⊥A1N． 证明：(1)不妨设等轴双曲线的方程为＝1 设直线MN的方程为x＝b(ba) 如图8—7易求得 N(b，) ∴tanNA1x＝＝ tanNA2x＝＝ ∴tanNA1x＝＝cotNA2x ＝tan(－∠NA2x) 又∠NA1x，∠NA2x均为锐角 ∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根据对称性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180° (2)仿(1)可求得M(b，－) ∴＝－1 ∴MA1⊥A2N ，同理可证MA2⊥A1N． 点评：利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识．， ? 【随堂训练】 1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：由方程组 得a＝2，b＝2． ∵双曲线的焦点在y轴上， ∴双曲线的标准方程为＝1． 答案：B 2．双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为( ) A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝160 C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24 解析：由椭圆＝1得其焦点坐标为(0，－4)、(0，4)． ∴双曲线的焦点在y轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y＝－x， ∴a＝b，而c＝4， ∴a2＋b2＝(4)2，2a2＝48， ∴a2＝24，b2＝24， ∴双曲线的方程为y2－x2＝24． 答案：D 3．实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是( ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：∵2a＝4，∴a＝2， ∵双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线上的点的横坐标x应满足｜x｜≥2． 而A点的横坐标为2，不满足｜x｜≥2． ∴双曲线的焦点应在y轴上． 设双曲线的方程为＝1． ∵点A(2，－5)在双曲线上， ∴＝1，∴b2＝16， ∴双曲线的方程为＝1． 答案：B 4．双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是( ) A．45° B．30° C．60° D．90° 解析：由特征三角形OA1B1知，cosOA1B1＝＝， ∴∠OA1B1＝45°， ∴两渐近