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抛物线与几何问题的参考答案 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州)∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为, ∴ 抛物线对应的解析式为:. ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴. 令, 得，, ∴ )( )| , 即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分 (2) ∵, ∴ , 得: , 解得. 在中, 1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 此时, 二次函数解析式为; 当时, 由, 解得, 此时，二次函数解析式为 + +. 2) 当时, 由 , 将代, 可得, , （也可由代，代得到） 所以二次函数解析式为 + –或. ∴A(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4) 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1() 四边形ABP3O为直角梯形时，P1() 四边形ABOP4为直角梯形时，P1() （3） 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x ①当点P在第二象限时，x0, △POB的面积 ∵△AOB的面积， ∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴x的取值范围是 ②当点P在第四象限是，x0, 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积 ∵△AA′B的面积 ∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴x的取值范围是 【例3】（浙江丽水）（1）设所在直线的函数解析式为， ∵（2，4）， ∴, , ∴所在直线的函数解析式为 （2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动， ∴（0≤≤2）. ∴顶点的坐标为(,). ∴抛物线函数解析式为. ∴当时， （0≤≤2）. ∴点的坐标是（2，）. ② ∵==， 又∵0≤≤2， ∴当时，PB最短 （3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为. 假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）. ①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点， ∵，， ∴，∴，∴点的坐标是（0，）. ∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为. ∵，∴点落在直线上. ∴=. 解得，即点（2，3）. ∴点与点重合. ∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等. ②当点落在直线的上方时， 作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点， ∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线函数解析式为. ∵，∴点落在直线上. ∴=. 解得：，. 代入，得，. ∴此时抛物线上存在点， 使△与△的面积相等. 综上所述，抛物线上存在点， 使△与△的面积相等. 【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得 解得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）存在，F点的坐标为（2，－3） ∴E点的坐标为（－3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 点F，坐标为（2，－3） 线MN在x轴上径为R（R0），则N（R+1，R）代入抛物线的表达式，解得 ②当直线MN在x轴径为r（r0），则N（r+1，－r） ∴圆的半径为或． （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为． 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ． 当时，△APG的面积最大 此时P点的，． 【例5】（山东济南） (1)设抛物线的解析式为 将A(－1，0)代入: ∴ ∴ 抛物线的解析式为，即： （2）是定值， ∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE，∴ ① 同理: ② ① + ②: （3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分 如图，过点P作PH⊥BE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， ∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH 且△APM