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数理方程第x讲
从(1.11)和(1.12)还可以推出静电场的电位所满足的微分方程. 因E=-grad u, 由 div D=e div E=r 可得 div grad u=-r/e, 或 此非齐次方程称为泊松(Poisson)方程. 如果静电场是无源的, 即r=0, 则(1.18)变成 ?2u=0 (1.19) 这个方程称为拉普拉斯(Laplace)方程. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲面dS的法线方向的方向导数三者成正比 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. DS n M V S 热场 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. DS n M V S k为热传导系数.这里为常数。从时刻t1到t2, 通过曲面S流入区域V的全部热量为(负号表明热量是由高温向低温流动) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 上式的负号表示热流流向是温度梯度的相反 方向。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因S为闭曲面, 式中的二重积分可利用高斯公式化为三重积分, 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 流入的热量使V内温度发生了变化, 在时间间隔[t1,t2]内区域V内各点温度从u(x,y,z,t1)变化到u(x,y,z,t2), 则在[t1,t2]内温度升高所需要的热量为 c—物体的比热, r—物体的密度. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 流入的热量应等于物体吸收的热量, 因此有 由于[t1,t2]及V是任取的, 上式成立的条件就是被积函数相等, 即 其中 方程(1.21)称为三维热传导方程. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若物体内有热源, 其强度为F(x,y,z,t), 则相应的热传导方程为 其中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 作为特例, 如果所考虑的物体是一根细杆(或一块薄板), 或者即使不是细杆(或薄板)而其中的温度u只与x,t(或x,y,t)有关, 则(1.21)就变成一维或二维热传导方程 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 如果考虑稳恒温度场, 即在热传导
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