5-3相似矩阵解说.ppt

§3 相似矩阵 主要内容： 一、相似矩阵与相似变换的定义 二、相似矩阵的相关定理 三、利用相似变换将矩阵对角化 §3 相似矩阵 定义:设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P ,使 P-1AP=B , 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似. 定义:对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. §3 相似矩阵 相似矩阵与相似变换的性质 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 例 §3 相似矩阵 定理 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同. §3 相似矩阵 推论 若n阶矩阵A与对角阵 相似,则λ1 ,λ2 ,…,λn即是A的n个特征值. §3 相似矩阵 说明:若有可逆矩阵P ,使P-1AP=Λ为对角阵,则 而对于对角矩阵Λ ,有 由此方便地计算矩阵A 的多项式 . §3 相似矩阵 定义:对n阶矩阵A,寻求相似变换矩阵P ,使 P-1AP=Λ 为对角阵,这就称为把方阵A对角化. 定理 n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似 §3 相似矩阵 说明: 当A 的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化,但如果能找到n个线性无关的特征向量,矩阵A还是能对角化. §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 §3 相似矩阵 即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应. §3 相似矩阵 总结 1.相似矩阵. 2.相似矩阵的相关定理. 3.利用相似矩阵将矩阵对角化. * * * * 证明 例 解 例 解 说明: