02第二讲角平分线的性质.docxVIP

第二讲 角平分线的性质第一部分 知识梳理 一、角平分线的画法1．已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线：以O为圆心，以适当的长为半径画弧，交OA于M，交OB于N.分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C.③ 过O、C两点作射线OC，则射线OC就是所求的角的角平分线，如图. 二、角平分线的性质及判定1．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2．角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上. 三、三角形的角平分线的性质 1．三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等.2．三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等.3．三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点有4个.第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： （Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. 〖选题意图〗该题考察了作角平分线的依据：三角形全等的条件“SSS”，为学生能力的培养提供合适的问题，完成从书本知识到实际运用的转变.让学生在需要能力的场合去思考、挖掘，从而提高自己的能力.〖解题思路〗根据角平分线做法的依据，用“SSS”证明三角形全等需要构造的条件来判断.〖参考答案〗（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件.方案（Ⅱ）可行. 证明：在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN.(SSS)∴∠AOP=∠BOP.(全等三角形对应角相等) （2）当∠AOB是直角时，此方案可行. ∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB， ∠OMP=∠ONP=90°， ∠MPN=90°，∴∠AOB=90°∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当∠AOB不为直角时，此方案不可行. 【课堂训练题】1． 尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的倍．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)已知： 求作：BOA图2.2-11图2.2-11(1)〖参考答案〗已知：．求作：，使． 作图如图所示：2．如图，在中，，与相交于点.于点，且平分.请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对证明.AFEBCD图2.2-12〖参考答案〗解：、（写出其中两对即可）. 证法1：若选择，证明如下：平分又，证法2：若选择，证明如下：，又又【例题2】如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.　 〖选题意图〗 利用角平分线的对称性，在角平分线的两边构造全等三角形，进行翻折变换.含有多问的题，往往需要借鉴前几问解题的思想方法进行解题，考察同学们思维拓展的能力.〖解题思路〗 要利用角平分线作为对称轴解题，往往需要是在角的两边截取相等的线段长构造全等三角形.第（1）问的证明相对简单，关键是第（2）问，当三角形ABC不是直角三角形时的求证.利用题中∠B=60°，以及AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，我们可以求得∠AFC=120°.再通过构造全等三角形，以及角度的计算，证明角平分线，并再一次运用角平分线的性质，利用三角形全等求证线段相等.当有角平分线这一条件时，往往作角平分线上的点，作两边的垂线，可得垂线段相等.本题值得注意的是第(2)问对∠B=60°的处理，多次运用三角形内角和和等量替换.〖参考答案〗解：图略.(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD. 　　(2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立.　证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG. 　在△AEF和△