010、立体几何线面位置关系的判定与证明.docVIP

第讲　立体几何关系 平行 垂直 直线a 与直线b （1）同平行于直线c的两直线平行 （2）?∩? = b，a∥?，a?? ? a∥b （3）?∩? = b，a∥?，a∥? ? a∥b（）a⊥?，b⊥? ? a∥b （）两平行平面都和第三个平面相交，则交线平行（1）a⊥b，b∥c ? a⊥c （2）a⊥?，b?? ? a⊥b （）三垂线定理、逆定理a∥?，b⊥? ? a⊥b直线a（b）与平面?（?γ） （1）a??，b??，a∥b ? a∥? （2）?∥?，a?? ? a∥? （3）a??，a⊥?，?⊥? ? a∥? （1）m、n??，m∩n=B，a⊥m，a⊥n ? a⊥? （2）a∥b，b⊥? ? a⊥? （3）?∥?，a⊥? ? a⊥? （4）?⊥?，?∩? = b，a?，a⊥b ? a⊥? （5）?⊥?，?⊥γ，?∩? = a ? a⊥? 平面?与平面? （1）若? 内的两条相交直线a、b都平行于?，则?∥? （2）?⊥a，?⊥a ? ?∥?平行于的两平行（1）l⊥?，l?? ? ?⊥??∥?，?⊥? ? ?⊥?根据上述线面的平行与垂直的判定和性质，可知：“线线平行 线面平行 面面平行”，“线线垂直 线面垂直 面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙． 若是单纯的判断题，通常是结合图形（）（）（））（2013广东）设是两条不同的直线，?? 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若??，??，??，则 B．若??，??，??，则C．若，??，??，则?? D．若?，，?，则?? （2）（2013新课标）已知为异面直线，平面?，平面?．直线满足??，l??，则（　　）A．??，且? B．??，且? C．? 与? 相交，且交线垂直于 D．? 与? 相交，且交线平行于 例2 （2008·重庆B = 90?，AC =，D、E两点分别在AB、AC上，使AD:DB = AE:EC = 2，DE = 3．． B = 90?，∴ AD⊥DE． 因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB． 注意到DB⊥BC，所以DB为异面直线AD与BC的公垂线． 如图，由AD:DB = AE:EC = 2，得 DE:BC = AD:AB = 2:3． 又DE = 3，∴ BC = 4.5，AB2 = AC2－BC2 = 36． 进而 BD = 2，即异面直线AD与BC的距离为2． （2）如图，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连结AF．由（1）知， AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A－EC－B的平面角． 在底面DBCE中，∠DEF =∠BCE，BD = 2，CE = 2.5， 得，从而在Rt△DFE中，DE = 3，DF = DE·sin∠DEF = DE·sin∠BCE = 2.4． 在Rt△AFD中，AD = 4，，因此所求二面角A－EC－B的大小为． 说明：1．现行教材及考纲中对异面直线的距离要求较低，在图中往往有现成的距离（不需要另作），只要根据题意加以说明（证明）它满足异面直线的距离所要求的两个条件：既垂直又相交即可． 2．作二面角的平面角时，通常需要确定出（或找到）一个半平面的一条垂线，借助于三垂线定理或逆定理去作角（先作出），后证明． 3．要善于熟练应用直角三角形的边角关系． 例3 （2008·安徽?，OA⊥底面ABCD，OA = 2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离． 分析 （1）要证直线MN∥平面OCD，只需在平面OCD内找到（若无现成的则需另作）一条直线，证明它与MN平行（这条思路本题不太容易）；或者证明直线MN所在的某个平面（常常需要另作）∥平面OCD，注意到题设中有两个中点，于是再取AD或OB的中点（如下图），则问题立即解决． （2）异面直线所成的角需要转化成两条相交直线所成的锐角或直角．所以平行移动AB或MD，使它们相交，结合图形，发现AB∥CD，而CD∩MD = D，所以∠MDC就是异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．连结CM，在△CDM中，不难得出DM =，CM2 = 3－，而CD = 1，AC2 = 2－，进而由余弦定理，得，得∠MDC = 60?．所以AB与MD所成的角为60?． （3）由于AB∥CD，CD ? 平面OCD，AB ? 平面OCD，所以AB∥平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，