014.12抛物线题及答案1.docVIP

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图(2)，若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y＝－x2－2x＋3；(2)∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC∵BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP＝BP∴△PBC的周长最小是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴，；(3)①∵抛物线y＝－x2－2x＋3顶点D的坐标为(－1，4)∵A(－3，0)∴直线AD的解析式为y＝2x＋6∵点E的横坐标为m，∴E(m，2m＋6)，F(m，－m2－2m＋3)∴EF＝－m2－2m＋3－(2m＋6)＝－m2－4m－3∴S＝S△DEF＋S△AEF＝－m2－4m－3；②S＝－m2－4m－3＝－(m＋2)2＋1；∴当m＝－2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为(－2，2)．【题型】解答题如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 答案 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形； （4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度． 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小． 如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值． 解答： 解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将C（0，1），D（1，0）代入得：， 解得：b=1，k=﹣1， ∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1． （2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3， 将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=． ∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1． （3）证明：由题意可知，∠ECD=45°， ∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°， ∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称， ∴点E的坐标为（4，1）． 如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1）， ∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°． 又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°， ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°， ∴△CEQ∽△CDO． （4）存在． 如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度． （证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′． 由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， 即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．） 如答图③所示，连接C′E， ∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形， ∴△QC′E为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形， ∴点C′的坐标为（4，5）； ∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0