01112数值分析试A卷答案.docVIP

上海海事大学2011---2012学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案） 学生姓名：　　　　　　 学号：　　　　 专业：　　　　　　　　 填空题（每小格2分共30分） 利用Jacobi迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是； 当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Jacobi迭代法收敛 。 x 0 1 2 4 已知函数有数据 f 1 9 23 3 则其3次Lagrange插值多式的基函数为 插值余项为 求解常微分方程初值问题 的Euler公式为， 它是1 阶方法。 设则差商 7　 0　 对于求解Ax=b，如果右端有的扰动存在而引起解的误差为，则 相对误差 Gauss型数值求积公式 　　　的代数精度具有2n+1___次，求积系数的表达式为＝,且　　b-ａ　　　　 幂法是求矩阵　按模最大 特征值和特征向量的计算方法． Jacobi法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 8. 对于给定的正数k，Newton法解二次方程的迭代公式为 二．设函数，已知，试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数在区间[-1，1]上的次数低于4的最佳一致逼近。 （5分） 解：由切比雪夫多项式最小零偏差的性质得： 故： 用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。（7分） 解： 具有三次代数精度。 当具有四阶连续导数时，试求出二阶三点数值微分公式 的截断误差。（6分） 解： 故： 五．设是关于互异节点的Lagrange插值基函数，试证明： （7分） 解：设的n+1阶导数存在，则有： 当时，，所以有 当时（）， 所以 又时 ， 取时，有。 六．设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式 为使迭代序列收敛到Ax=b的解，试讨论参数的取值范围。（7分） 证明：可以得 迭代矩阵，特征值为，又A对称正定，所以特征值非负，设 如，则，故 时，，成立，所以迭代收敛。 七．在[0，2]上具有四阶连续导数，已知，，和试用Newton-Hermite插值法求满足上列条件的一个次数不超过3的插值多项式，并估计误差。（7分） 解：,,由得 又=， 八．对于迭代函数，试讨论： 当C取何值时，产生的序列局部收敛于。 C取何值时迭代至少具有二阶收敛速度。 （7分） 解：，，且连续。由定理得 ，也即时迭代局部收敛。 又：当，即C=时，迭代至少是二阶收敛的。 九．设，证明：右矩形求积公式 当，试从几何上说明右矩形求积公式与实际积分数值大小关系； 试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（9分） 解：因为：； 故： = 当时， 又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n 所以：= 其中： 有： 求系数，使求解常微分方程初值问题的数值解公式 的局部误差为 （7分） 解：设部长，且，。 因， 故 又，比较得， 十一. 对于初值问题， 若函数在区域，满足 条件，试说明二阶Runge-Kutta方法 在条件下是收敛的。 并用该方法求解初值问题 ， 讨论绝对稳定性对步长的限制。 （8分） 解：因为： 所以： ， 其中 由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。 另： 由 ， 得。