、幂函数与函数的零点.docVIP

第七讲、二次函数及幂函数 板块一、二次函数 知能点全解： 一、定义：形如的函数叫做二次函数。 二、二次函数的三种表达形式： 1、一般式： 2、顶点式： 3、两根式： 三、二次函数的图像和性质： 1、图像：二次函数的图像是以为对称轴的抛物线，其开口方向由的符号确定，顶点坐标为。 2、性质：二次函数的单调性以顶点坐标的横坐标为分界，当时，的单调递减区间是，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是 四、二次函数的对称性： 如二次函数恒满足，则其对称轴为；特别地，当二次函数恒满足，则其对称轴为。 五、函数的零点： 1、定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零即，则叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）是函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 2、二次函数的零点： （1）当时，二次函数有两个零点； （2）当时，二次函数有一个二重零点或二阶零点。 （3）当时，二次函数无零点。 六、二分法： 1、定义：对于区间上连续的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 2、用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间，验证：，给定精确度； 第二步：求区间得中点； 第三步：计算；若=0，则就是函数零点；若，则令；若，则令 第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值，否则重复第二、三、四步。 七、对于函数的最值问题，最好用图像法，尤其当“轴变区间定”和“轴定区间变”时，这两种情况利用图像作参考找出讨论时分类的标准。“轴定区间也定”这种情况也可以不利用图像，若，则时有最小值，最大值是中较大者；若，则中较小者为最小者，较大者为最大值，即最值在区间的端点处。 八、我们在解一元二次不等式和时，二次项系数都变为正数，具体解法见下表： 图像 方程的解 无解 的解 九、一元二次方程根的分布，具体情况见下表： 根的分布 图像 充要条件 根的分布 在内有且仅有一个根 图像 充要条件 或 或 十、方程在给定区间是否有实数解得判断方法： 1、确定函数的图像在区间上是连续不间断的； 2、计算的值并判断其符号； 3、若，则有实数解； 4、有些问题除用上述方法外还需结合函数的图像来作出判断。 十一、函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间上是连续不间断的，且，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 随堂演练： 一、选择题： 1、二次函数，若，则等于（ ） A、 B、 C、 D、 2、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ） A、 B、 C、 D、 3、设是关于m的方程的两个实根，则的最小 值是（ ） A、 B、18 C、8 D、 4、下列图中与的图像只可能是（ ） 5、已知函数且，则下列不等式中成立的是( ) A、 B、 C、 D、 6、已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是（ ） A、 B、(0,1) C、 D、 7、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为（ ） A、 1 B、 -1 C、 D、 二、填空题： 1、函数的图像与轴交点的坐标是 ；当 时，有最小值 2、不等式的解集是，则 。 3、函数的图像的顶点位于第 象限。 4、二次函数满足，又在上是增函数，且，那么的取值范围为 。 5、二次函数的图像过原点，且顶点为，则 。 6、函数在上有最大值5，最小值2，则的值为 7、已知二次方程的两个实根是，且，那么的解集为 。 8、二次不等式的解集是，则 。 9、函