{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.3.2等比数列的前n项和（一）Word版含解析(经典).docxVIP

3.2　等比数列的前n项和(一) 明目标、知重点　1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程.2.能应用前n项和公式解决等比数列有关的问题．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．等比数列前n项和公式的变式若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.3．错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．[情境导学]问题　一天，小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月(30天)中小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元．而小林按这样的方式还贷：第一天还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍，30天后小林得到的钱一定比小明多吗？探究点一　等比数列前n项和公式的推导思考1　设30天后小林得到T30(万元)，小明得到S30(分)，你能用数据表示出T30、S30吗？答　T30＝1＋2＋3＋…＋30＝＝465(万元)，S30＝1＋2＋22＋…＋229(分)．思考2　如何计算S30＝1＋2＋22＋…＋229?答　思路一　S30＝1＋2＋22＋…＋229＝1＋2(1＋2＋22＋…＋228)＝1＋2(S30－229)，S30－2S30＝1－230，S30＝230－1.思路二　S30＝1＋2＋22＋…＋229，①2S30＝2＋22＋…＋229＋230.②②－①，得S30＝230－1.由于230－1＝1 073 741 823(分)＝1 073.741 823(万元)465(万元)，所以小明得到的钱更多．思考3　根据思考2中的求和思路，你能求出等比数列的前n项的和吗？答　思路一　由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，得Sn＝a1＋a1q＋a2q＋…＋an－1q＝a1＋q·(a1＋a2＋…＋an－1)＝a1＋q·(Sn－an)；从而得(1－q)·Sn＝a1－anq.当q≠1时，Sn＝；当q＝1时，Sn＝na1.思路二　Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.当q≠1时，Sn＝.当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.综上所述，Sn＝.例1　(1)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，求S3；(2)求等比数列1，，，…的前10项的和．解　(1)S3＝＝26；(2)∵a1＝1，q＝，∴S10＝＝.反思与感悟　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案　2　2n＋1－2解析　设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝＝2n＋1－2.探究点二　等比数列前n项和的实际应用例2　五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少(结果精确到万元)?解　每年的利税组成一个首项a1＝300，公比q＝1＋10%的等比数列．从今年起，第5年的利税为a6＝a1q5＝300×(1＋10%)5＝300×1.15≈483(万元)．这5年的总利税为S＝＝300×1.1×≈2 015(万元)．反思与感悟　解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“每年比上年利税增长10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.探究点三　错位相减法求和思考　教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{}前n项和？答　设Sn＝＋＋＋…＋，则有Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，得Sn－Sn