(有限生成模.docVIP

主理想环上的扭模 总是用表示一个主理想整环。 定义 设为模，如果对任何都存在使，则称为扭模。对于中的元，定义。对于中的素元，称为的零化子模。 定理 设为扭模，则。 证：对于任意的，ann ，其中为素元，存在满足 令，则，所以。由的任意性可知。若对于素元，，即存在不同的素元，满足，，，所以。由于存在使，于是。这说明。所以。 定义 设为扭模，如果对于中的素元，，则称为模。 定理 设为模，则，其中，， 表示由生成的循环子模满足，，表示由生成的满足关系，的子模，等价地，为由（）生成的的子模。 证：存在域上的线性空间序列。由线性空间的性质可知存在线性空间的直和分解满足，，。令为的基，，。则为的基。对于，，任取一固定的满足的元素，记为。令生成的的子模为。现证的元素无关。若有不同的个元素满足且，则有，所以，。令。则。，所以，。重复以上步骤可知，，矛盾！的元素无关。所以，，。令，对于，任取一固定的满足的元素，记为，任取一固定的满足的元素，记为，如此下去，归纳地，。记生成的的子模为，现证模族无关。若有不同的元素满足且，则有，所以。令。则。于是，所以。重复以上步骤可知，，矛盾！因此模族无关。现证无关。如果，。令，，，，，，，不妨令，则。所以， 。所以。。所以，，，。。重复此过程可知，，。矛盾！无关。现证。对作归纳证明。当时，由的定义有。假设，则对任意， ，由归纳假设存在满足，所以存在满足。于是，即。由归纳假设，存在，满足。所以，。所以，。 主理想环上有限生成模的循环分解 定义 设为模，如果存在的子集满足，其中表示由生成的的循环子模，则称是可循环分解的，称为的一个循环分解。等价的定义为，是可循环分解模如果存在一组无关的生成元组。 自由模是可循环分解的。但是一般模不一定可循环分解，前面定理中的就不是可循环分解模。 定理 有限生成的模是可循环分解模，且无关生成元组元素的个数有限。 证：由于有限生成模都是自由模和扭模的直和模，而自由模都是可循环分解的，所以我们只需要对扭模证明定理。令 ann，，其中为素元。则 由模分解定理，每一个都为有限生成模，所以不可能含不是有限生成的子模，所以可循环分解。如果元素个数无限，则为无穷维线性空间。假设为的一个有限生成元组，ann，则由生成，矛盾。所以元素个数有限。 定义 设为有限生成的模，为的一个无关的生成元组，相应的循环分解为，ann。称每个ann为这个循环分解的一个分解理想，称每个为这个循环分解的一个分解因子。称为这个循环分解的长度，称零分解因子的个数为循环分解的秩，称所有非零分解因子的乘积为分解的特征因子。如果两个分解因子和互素，则称无关的生成元组（表示删去此元素）为的一个合并组，称相应的循环分解为原分解的一个合并分解。如果某个分解因子为两个互素元的乘积，即，，则称无关的生成元组为的一个分裂组，称相应的循环分解为原分解的一个分裂分解。如果循环分解的所有分解因子都不能分解成两个互素的元的乘积，即该因子或者为零或者相伴于，为素元，则称这组生成元为的一个初等生成元组，称相应的循环分解为的一个初等分解，每个分解因子都称为的一个初等因子。如果分解因子满足（等价于ann ann），，则称这组生成元为的一个不变生成元组，称相应的循环分解为的一个不变分解，称为的不变因子。 两组无关的生成元组与称为同构的（相应的循环分解是同构的），如果存在两组之间的1-1对应满足ann ann，，此时自然导出的自同构。两组无关的生成元组称为等价的（相应的循环分解是等价的），如果其中的一组同构于对另一组做有限次分裂或合并得到的无关组。 注意，以上定义中，的分裂组与同构。 基本分解定理 有限生成模的所有循环分解（无关生成组）都是等价的，所有的初等分解（生成元组）都是同构的且长度为所有循环分解中最大的，所有的不变分解（生成元组）都是同构的且长度为所有循环分解中最小的。所以，初等因子组，不变因子组，特征因子和秩在相伴的意义下唯一。 证：首先证明所有的初等分解都是同构的。设为有限生成模的初等生成元组，则零因子的个数为自由模的秩，相伴于（为素元）的初等因子个数为线性空间的维数，所以所有的初等分解都是同构的。显然任何一个循环分解都可有限次分裂成为一个初等分解，而每个形如（为素元）的模都不能再分解为两个非平凡子模的直和，所以所有循环分解都是等价的，且初等分解的长度为所由循环分解中最大的。由于分裂或合并不改变特征因子的相伴类，所以所有分解的特征因子都是相伴的。 现证所有不变分解都是同构的。设为有限生成扭模的不变生成元组，如果的秩为，则，。因此，不妨设为扭模。，，。令的初等生成元组为，其中ann，（如果不存在）。显然ann。即只依赖于初等因子。同理ann，其中为以为初等生成元组的模。归纳可证，，。所以，所有不变分