第6章-向量空间及向量的正交性解析.pptVIP

一、n 维向量的定义及运算 二、向量空间 第一节 向量空间 第二节 向量的正交性 一、向量空间及其维数和基 二、向量在基下的坐标 例 1 设V是一些 n 维实向量的组成的非空集合，如果 V 关于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即 (1) ? a, b ?V, 有 a+b ? V. (2) ? a ?V, k? R, 有 ka ?V. 则称 V 是一个实向量空间. 一、向量空间及其维数和基 定义1 全体 n 维向量的集合{(x1, x2, …, xn)T| xi ? R, i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为 Rn. 特别的 n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间; n = 3 时全体三维向量 {(x1, x2, x3)T |xi ? R, i= 1, 2, 3 } 是一个向量空间，记为R3. n = 2 时全体平面中的向量 {(x1, x2 )T | xi ?R, i=1, 2} 是一个向量空间，记为R2. 注：向量空间中必含有零向量。 例 3 例 2 而 W = {(a1, a2, …, an)T| 是一向量空间. 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量. 仅含一个 n 维零向量 0 = (0, 0, …, 0)T 的集合 {0} 构成一个向量空间，称为零空间. 除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。 设 V 是一个向量空间，W V, W ? ?. 如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称 W 是 V 的子空间. 定义2 若W V，并且V W, 则称两个向量空间相等，记为W=V. 例 5 n个分量 都是 R n 的子空间. 及 例 6 设 a ? V, 则 span{a} = {ka | k ? R }为 V 的子空间，称它为由a生成的子空间，a 称为这子空间的生成元. 是 V 的由a1, a2, …, as 生成的子空间. 更一般地，设 a1, a2, …, as ? V. 上一页 例 4 V 本身和 {0} 都是 V 的子空间，称它们为 V 的平凡子空间. 例 7 上一页 证明：m×n阶齐次线性方程组Ax=0的解集S组成一个向量空 间，称S为 齐次方程组Ax=0的解空间. 证明：设u,v为Ax=0的解集S中的任意两个向量，满足Au=0,Av=0. 设k为任一实数。 那么A(u+v)=Au+Av=0. 并且A(ku)=kAu=0。 因此u+v∈S, ku∈S. 从而S为一个向量空间。 称向量组 V 的极大无关组为向量空间 V 的一组基底(基)，而V 的秩 称为向量空间 V 的维数，记为 dim(V). 定义3 规定：零空间的维数为0, 它没有基. 向量组的任何一个极大无关组都是一组基，存在而不唯一。 例 9 例 8 设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1, 0, 0, …, 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, …, 0 )T, …, en= ( 0, 0, 0, …, 1 )T 是 Rn 的基, 且 dim(Rn) =n. 由矩阵判别法知 e1, e2, …, en 线性无关. 设 a = (a1, a2, …, an )T为任一 n 维向量, 显然有 a = a1 e1+ a2 e2+… + anen . 所以 a 可由 e1, e2, …, en 线性表出, 即 e1, e2, …, en 是 Rn 的基,从而dim(Rn )= n. 证 设 V 为一向量空间，且 dim V = r, 而 a1, a2, …, ar 为 V 中 r 个线性无关的向量，则 a1, a2, …, ar 必为向量空间 V 的一组基. 上一页 例 10 证明向量组 a1 = (1, 2, 1)T, a2 = (3, 0, ?1)T, a3 = (2, ?3, 5)T 为空间R3 的一组基. 由于 dim R3 = 3, 故只要证明 a1, a2 , a3 线性无关即可. 由于 因此 a1, a2 , a3 线性无关，从而 a1, a2 , a3 可构成空间 R3 的一组基。 证 上一页 例 11 从而R3=span{a1, a2 , a3 }。 定理1 二、向量在基下的坐标 设 a1, a2, …, am 是向量空间 V 的一个基, ? b?V, b 可由 a1, a2, …, am 线性表示: b = b1 a1 + b2 a2 +… + bm am , 则组合系数