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高考数学命题的新视角——类比推理题 赵志毅 关键词 类比推理 一、数列中的类比推理 【例1】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列，是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前n项和的计算公式为 。 【分析】由等和数列的定义，易知故 当n为偶数时，；当n为奇数时， 评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。 二、函数中的类比推理 【例2】设函数，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值 。 【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算 ∵ ∴ 发现正好是一个定值，∴，∴ 评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的老本放在了突出的位置。本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。 三、排列组合中的类比推理 【例3】已知数列（n为正整数）的首项为，公比为的q等比数列。 （1）求和： （2）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。 【分析】本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论： （1） （2）归纳概括的结论为：若数列是首项为，公比为q的等比数列，则 （证明略） 评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证明能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。 四、立体几何中的类比推理 【例4】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为： 。 【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想 （证明略） 评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。有意思的是，2004年广东高考数学试卷中又出现本题相类似的题目。 【例5】在中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。 【分析】根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角。 证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得 即 评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。 五、解析几何中的类比推理 【例6】已知两个圆：① 与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 。 【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况： 设圆的方程为③与④，其中或，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。 评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。 六、新定义、新运算中的类比 【例7】若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 。 【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“+”，则可容易得到 正确的结论还有：等。 【例8】对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”： 给下列三个命题： ①若点C线段AB上，则; ②在中，若°，则; ③在中， 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【分析】对于直角坐标平面内的任意两点定义它们之间的一种“距离”： ①若点C在线段AB上，设C点坐标为，在、之间，在、之间，则 ③在中， ∴命题①成立，命题③错误。而命题②在在中，若则明显不成立