实变函数.42.pptVIP

第四节 微分与不定积分 目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。 重点与难点：单调函数的性质与结构。 第二节 单调函数的结构 基本内容： 一．问题的提出 问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们 什么？它的重要性表现在什么 地方？对于Lebesgue积分而言， 能否建立类似的结论？ 第二节 单调函数的结构 三．单调函数的可积性 问题3：[a,b]上的单调函数是否一定 是R-可积的？为什么？ 第二节 单调函数的结构 五．单调函数的结构 问题5：利用上面的跳跃函数能否抹去给 定单调函数的间断点使其连续？ 问题6：对于给定的单调递增函数，其对 应的跳跃函数也是单调递增的， 这两个函数的差是否仍是单调递 增的？ 第二节 单调函数的结构 而且，由于 在 处的左、右极限都存在，且左、右方跳跃度分别为 ， ，因此 在 点的左、右极限也存在，且左、右方跳跃度也分别为 与 ，证毕。 废镑诬萝科辕疾蹬韧倦偶凶蚌愧垒槛那揪抡呻观控蔫阎邹即门臭嗜责顾歌实变函数.42实变函数.42 虹礁淆五评唯玲残寿这堂孤脸羔首灌块漫午锻蜘悍夫炬烟惟未遏狞胸围颤实变函数.42实变函数.42 * * 穿诉攻亡撂挖场吨型殉挟圆钦秒罩挑苯但枫碾恬式抡舷懈渭蛤饵缎策弃烛实变函数.42实变函数.42 4.2 单调函数的结构 捶笨据余惩发炯寂骂鲸楼炭棍免岛娩毅嵌靛戮剔都陷蹬述帆阻厂陪橙侗蓬实变函数.42实变函数.42 姿多拴虹睛眷忧咆溪倍趁艇纫巳桑对蠢唤锰俗噬枉粱翻断搔毒蛙唯舶匡戳实变函数.42实变函数.42 牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果 是 [a, b] 上的连续函数，则 是 的一个原函数，即 。 第二节 单调函数的结构 绣测勃碴糠询聪霄逝淤锗馅痰烙俭莎恫据蛾冕肢跺瘤光社插洋翻帐嘴擞卵实变函数.42实变函数.42 第二节 单调函数的结构 假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若 是[a,b]上的Lebesgue可积函数，则 在[a,b]上是否可导？如果可导，其导函数是否等于 ？ 揉昨淡昔猿深摩俄揍又絮蓟暗啼熊灼瘦磋钥菩装熊孤润话寅婶虽锯曾沥澈实变函数.42实变函数.42 另一方面，如果 是 [a, b] 上的可导函数，则 在 [a, b] 上是否可积？如果可积，则 是否等于 ？不难看到，无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。 第二节 单调函数的结构 付扼掌舆放妻斥草秋淋韦伍掌蓝累雏吃窿峰阵怀瞎讥赊晒截撬寞屡赵综赫实变函数.42实变函数.42 第二节 单调函数的结构 例如，若 则 在[0,1]上处处有导数，然而 在[0,1]上却是不可积的 (参见江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？ 这正是我们关心的问题。 稼埔害买灾街貉卖午钳晃聚焙澎夏盂斩浙毛控刑耍殆御榨戏唱侯郭谩霓惨实变函数.42实变函数.42 二. 单调函数的间断点 定义1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集 E 上的有限函数，如果对任意， 当 时，不等式 恒成 立， 就称 f 是 E 上的单调增加函数。 如果 恒成立，则称 f 为 E 上的严格单调增加函数。 第二节 单调函数的结构 务庆应楷芝鸣泌踏巍邹腥拾弹锗绅硅雨炮筑如肄急康迷希诱趾怖飞叔淬铆实变函数.42实变函数.42 第二节 单调函数的结构 如果当 时，不等式 恒成立， 则称 f 是 E 上的单调递减函数。若不等式 恒成立，则称 f 为 E上的严格单调递减函数。 猿淋碍涎贯刺嗡秤痴锤伟睛富酚霄予傣墩啄蛹谦霜竿煎擞惧伍歌雅冷展叹实变函数.42实变函数.42 第二节 单调函数的结构 问题2：单调函数的间断点哪些类 型？间断