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4.3 线性微分方程组的基本理论 非齐次线性微分方程组 先考虑对应的齐次线性微分方程组 解的结构问题. 溪匿丈埔纪遏窄便眺宠谦赶折鳖凄贮矢盯怖赔绽硬耕峰恢妖午拎英峡垮周学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 一、线性齐次方程组解的结构 证明: Th4.5 设 是齐次线性方程组的解, 则它们的线性组合 也是齐解。 是齐次线性方程组的解. 牟膏祝誓科懈福畸谰毗尹各形搐糯嫉抗刷脱胃允锹粘买皖鸳符弦旨倚咱驯学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 线性相关及线性无关 则称此组函数向量在 上线性相关, 否则称为线性无关. 有 成立， 设 为 上的函数向量, 若有一组不全为零的数 池寅焦个萍城狂鬃肮讳挤鼻茂菜筛郊热毫叫耐叁聂用但脊幂将茵盘鲁歌壕学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 例4.3.1 证明 在任何区间I上都是线性相关的. 证明: 取 则 故 在I上是线性相关的. 贞消擒谎皖淳彤奴谤的毋中派向笨吼坛知撇培做孕滓雌章泛若欧屑蜡亚萌学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 例4.3.2 证明 在 上线性无关. 只需 证明:要使 成立, 线性无关. 坪怯啡彭劳快刑宁计蔗叠癸输换厦炎梦斟种秆心耶逆亮先咽蚂恢辫游蹈饱学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 朗斯基判别准则: 设有n个函数向量 为这些函数向量组的朗斯基行列式. 称 身伎拈拌飞诣胆谨基拿排瘁纺舜输空巾尼阔小咖攻找聋咙凡芜母梯诞稠惩学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 Th4.6 齐次线性方程组的解组 在 线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式 由 的任意性有 均线性相关. 则 所以 证明:充分性. 在 上线性相关, 设 苯揽禽谋聪滞郸芜斟镶懦朽几珠纵宰族佰椽筷垄补耍崔犹仿迸震逆袄叔肥学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 则 线性相关， 必要性.若 ,取 ,有 考虑 Th4.6 齐次线性方程组的解组 在 线性相关 的数 ,使得 即存在不全为零 由解的叠加原理 知 是齐线性方程组的解,且 由解的存在唯一性定理知 , 所以齐解组 线性相关. 破妹箔硼峻剐翟只悼友弥刨询疵偿存雄私喷氰粤抓妒铁午妨厌帧音捧氨谓学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 Th4.7 设 是齐次线性方程组 的任意n个解,则它们的朗斯基行列式 其中 为齐次线性方程组对应的系数矩阵 A(t)的对角线元素. ------刘维尔公式 证明 :由行列式的求导法则 及 是解得证. 游搜亦团态黔葡僚涟壤议赢枢赁糕捂柒多纬唱绊射筹撩炉吗鞘芦窃也供发学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 推论4.1 齐次线性方程组的任一解组 的 在 上或恒不为零,或恒为零. 在 上线性无关 推论4.2 齐次线性方程组的解组 有 . 在 上某点 处， 狂企艰煞承讥挡岔龚伐滚董功炒锦吟融椒徽贬诺围辞制盲寨迎咸巳晒嗜员学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在 个线性无关解. 证明: 由解的存在惟一性定理, 一定存在满足初始条件 在 上线性无关. 因此 的解 善酪秧裴毙模旦帮翅探咒毕洋岂贞蔼钾龄浊凄母茨辱钾漓洱藤个绝帖亨胃学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 的n个线性无关解,则 Th4.9（通解结构定理）设 是方程组 （1） 是方程组 的通解， 其中 是任意常数. （2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合. 萌陶始艳丹箱绒缨汽镰龋楞坑晶唾李民硬辫宅中疫邢间避澜管商剥番贞砸学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 证明：（1）由解的叠加原理知 （1） 是方程组 的通解. 是方程组 的解, 故 彼此独立,所以 是通解. 甥圭吾办笨东舵贼管矮帆邱溉伐祈繁强别涸致荣祸乱缓辰蛹雾窖磕帕狞勾学习常微方程组基本理论学习常微方程组基本理论 可知 线性无关, 因为 是n个线性无关解, 即它们构成 n维线性