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等差、等比数列的性质及应用 知识归纳： (一)等差数列的性质 =+(m-n)d,d= (2)等差数列中，若p+q=m+n，则，若2m=p+q，则 （3）首尾项性质：设数列，若是等差数列，则 ； （4）中项及性质：设成等差数列，则A称的等差中项，且； (5)若{},{}均为等差数列，且公差分别为d1,d2，则数列{p},{+q},{±}也为等差数列，且公差分别为pd1,d1,d1±d2 (6)在等差数列中构成一个等差数列公差为）(7)等差数列前n项和构成一个等差数列，即,,,…为等差数列，公差为n2d。 () 若等差数列的项数为2n，则有。 () 等差数列的项数为奇数n，则，。 () {an}为等差数列， (11) 通项公式是=An+B≠0)是一次函数的形式；前n项和公式≠0) 是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，=n, =） (1) 若0，d0，有最大值，可由不等式组来确定n。 若0，d0，有最小值，可由不等式组来确定。等比数列的性质 (2) 等比数列中，若 =·，若2m=p+q，则= (3)若{},{}均为等比比},{},{·},,{||}也为等比比,d1·d2,,|q1| (4) 在等比数列中，构成一个等数列公比为 (5) 等比数列前n项和构成一个等比数列，即,,,…为等数列公比为。是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a≠1）； 2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。 3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。 二、主要方法： 1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法： ①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程； ②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．三、例题讲解： 例1、（1）设是等差数列，且，求及值。 （2）等比数列中，，，前n项和=126，求n和公比q。 （3）等比数列中，q=2，=77，求； （4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。 解：（1）由已知可得，所以=2，= ，所以或 又,所以或 评注：分解重组，引导发现（）、（）与（）的关系，从而使问题获得简单的解法。 设等差数列共2n-1项,则 所以此数列共31项.中间项 （2）在项数为项的等差数列中．变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项； （2）已知数列是等比数列,且,,，则 9 ． （3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 ． (4) 等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.。（=） 例2、设等差数列的前n项之和为，已知=12，0，0， （1）求公差d的取值范围。 （2）指出，，，…中哪一个值最大，并说明理由。 解：（1），，即， 由,代入得：。 （2）解一：由，可知，所以最大。 解二：，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知最大。 解三：，由得 。又抛物线开口向下，所以最大。 评注：求等差数列最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）变式：(1) 已知等差数列{an}中，，问，，，…中哪一个值最大。或） (2) 数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足 ， 求数列的前项和的最大值；求数列的前项和． 略解：（1）由题得，∴，∴是首项为3，公差为的。 ∴，∴ 由，得，∴数列的前项和的最大值为 （2）由（1）当时，，当时，， ∴当时， 当时， ∴． 说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． (2) 若数列成等差数列，且，求． 解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则 得：，， ∴， ∴． 评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征。 变式：设数列为等差数列，为数列的前n项和，已知=7，=75, 为数列{}的前n项和，求。 解：法一：（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则 ∴ ∴ ，∴ ∴ 此式为n的一次函数， ∴ {}为等差数列，∴ 。 法二：为等差数列，设=An2+Bn，∴ 解之得： ∴ ，下略。 例4、已知等差数列， （1）在区间上，该数列有多少项？并求它们的和； （2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和. 解：， （1）由，得，又, ∴ 该数列在上有项, 其和． （2）∵，∴要使能被整除，只要能被整除，即， ∴，∴，∴，∴在区间上该数列中能被整除的项