缓和曲线和圆曲线的有关计算(第三稿2007年)..docVIP

缓和曲线和圆曲线的计算与测设 一、缓和曲线的性质 缓和曲线是直线与圆曲线间的一种过渡曲线。它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等。缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该点到曲线点的长度成反比，如图1： ρ∝ 或ρl= 式中，C 是一个常数，称缓和曲线半径 变更率。 当= 时，ρ=R，所以 = 式中，为缓和曲线总长。 ρl=是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可以作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。 二、缓和曲线方程式 按照ρl=为必要条件导出的缓和曲线方程为： X=－＋＋… Y=－＋＋… （1） 根据测设要求的精度,实际应用中可将高次项舍去,并顾及到=,则上式变为 X=－ Y=－ （2） 式中,x、y为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点（ZH）或缓直点（HZ）；通过该点的缓和曲线切线为x 轴，如图2： 为缓和曲线上任一点P 到ZH（或HZ）的曲线长； 为缓和曲线总长度。 当= 时，x=x0,y=y0,代入式（2）得： X0=－ Y0=－ （3） 式中，x0 、y0 为缓圆点（HY）或圆缓点（YH）的坐标。 三、缓和曲线常数计算 β0、δ0、m、p、 x0、y0 等称为缓和曲线常数。其物理意义及几何关系由下图,图3可得知： β0——缓和曲线的切线角，即HY（或YH）点的切线与ZH（或HZ）点切线的交角；亦即圆曲线一端延长部分所对应的圆心角。 δ0——缓和曲线的总偏角； m—切垂距，即ZH（或HZ）到由圆心O 向切线所作垂线垂足的距离； p—圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R 之差。 常数计算公式如下： X0=－ Y0=－ β0= δ0== m=－ p=－≈ （4） 下面我们推证常数β0、δ0 、m、p、x0、y0。 求β0 设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为该点的曲率半径；为该点至ZH 点的缓和曲线长。如图4 dβ=d/ρ,将ρl= 代入上式，则 dβ=/ ∴ β=∫0l dβ=∫0l= 当=，β=β0 则 β0= （5） （二）求δ0 由上图可得知，tanδ0= ∵δ0很小，故δ0≈tanδ0= 将（3）式代入上式，并略去二次项， ∴δ0== （6） (三)、圆曲线内移值 m 如图3 m=－ 运用级数展开，略去高次项 =－－R（…） =－ （7） (四) 切垂距p计算 如图3 p=(R+)×－R =－R（1－） 运用级数展开，略去高次项 =－－（1－（1－…）） =－－ = －≈ （8） （五）求x0、y0 任取一微小变量 dl, 则所对应的x、y增量为，dx、dy, 其对应的关系为 dx= dl dy=dl (9) =1－+－… =β－＋－… β= (10) 将（10）代入（9）式进行积分，并略去高次项得： X=－ Y=－ 当l=l0 时 X0=－ Y0=－ 四、曲线测设 （一）曲线综合要素计算 由图3可知，曲线综合要素计算如下： 切线长 T=m+(R+p).tan 曲线长 L=2+=+ 外矢距 E0=（R+P）－R 切曲差 q=2T－L （11） (二)缓和曲线的偏角计算 如图5，缓和曲线上任一点i 的偏角为： δ≈sinδ≈ （∵δ很小） ∵ y= ∴δ= 又∵β= ∴δ= 故 b=β－δ=2δ （12） 式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b为该点的反偏角。 (三)切线支距法测设曲线 坐标计算公式 以ZH（或HZ）为坐标原点，以切线为x轴，垂直切线方向为y轴。 缓和曲线部分 X=－ Y=－ δ= b=2δ 弦长 l弦= 说明： l—缓和曲线上任意一点至ZH或HZ点的距离 l0—缓和曲线长度（单侧） R—圆曲线半径 δ—缓和曲线上任一点的正偏角 b—缓和曲线上任一点的反偏角 圆曲线部分 Xi=Rsinαi+m Yi=R（1－cosαi）+p