周期函数运算(加,减,乘除,复合)结果分析..docxVIP

周期函数运算（加、减、乘、除、复合）结果分析 摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义.进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性,从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理,并说明了定理的应用.关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期 1周期函数与周期1.1 周期函数与周期的定义设函数,如果存在一个数,对任意,有,且,则函数叫做周期函数,数T叫做函数一个周期.函数具有周期的性质叫做函数的周期性.1.2 周期函数的周期的性质性质1 若是的周期,则也是的周期.证明 因为是的周期,所以.令,则,代入上式得: ,即: .所以也是的周期.性质2 若是的周期,且,则也是的周期.证明 (1)证明当时, ,则是的周期(运用数学归纳法).当时, 是的周期.②假定当时, 是的周期,则,那么当时,有.所以是的周期.由①、②可知:对于所有的自然数,则是的周期.(2)当时, ,显然, 是的周期(特殊周期).(3)证明当时, ,则是的周期.因为是的周期,所以由性质1可得: 也是的周期.又因为即: ,所以由以上(1)的结论可得: 是的周期.即: 是的周期.综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若是的周期, ,则也是的周期.由性质1和性质2可得出如下结论:结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期.结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.1.3 最小正周期的定义由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个,或者是多个直至无限多个.由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期.因此,可作出如下定义:设周期函数,把的所有正周期中的最小的一个叫做函数的最小正周期.显然,一个函数的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意义.因此,一个函数的周期通常是指最小正周期.2 周期函数的和、差、积、商函数2.1周期函数的和、差、积、商函数的周期性周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点?下面的定理可给出明确的回答.定理1 设函数与都是定义在上的周期函数,周期分别为与,且（为正有理数, ,且与互为质数),若,则为函数的周期.证明 因为,且与互为质数),所以,即: 为与的最小公倍数.又因为与分别为与的周期,所以根据性质2可得: 为与的周期.所以 所以为函数的周期.同理可证明: 为函数的周期.这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.2.2周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法.具体的求解步骤如下:第一步:求出两个周期函数与的周期.设周期分别为与.第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比.即 (为正有理数, ,且与互为质数).第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数,即求出.那么最小公倍数即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期.显然,对于有限个周期函数的和、差、积函数,重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可3 复合函数周期性3.1复合函数周期性的判定定理2 设是周期函数,函数与满足复合函数的条件,则复合函数是周期函数,且的周期也是复合函数的周期.证明 记,设为函数的一个周期.任何,则,. 同理,因此,为周期函数,的周期也是的周期.必须指出, 的最小周期未必是的最小正周期.例1 ,.复合函数,的最小正周期是,的最小正周期是,所以的最小正周期是的周期,但不是它的最小正周期.定理1可以推广到有限个函数复合的情形.推论 设是周期函数, ,,,,这个函数满足复合的条件,记 ,则是周期函数,且的周期是复合函数的周期.例2 讨论函数的周期性.解 函数的定义域,函数可看作,,的复合函数,容易验证在上是周期函数,具有最小正周期,有定理1的推论, 是周期函数.是函数的周期.函数的零值集 有最小正周期,因此, 是函数的最小正周期.在定理1中,如果是周期函数,是一般的函数,特别不是周期函数时,复合函数未必是周期函数.如,的复合函数不是周期函数.而,的复合函数是周期函数.有下面一般性的结论.定理3 设是周期函数,是的一个周期,,则复合函数是周期函数,且时函数的周期.证明 设的定义域为,记,则的定义域.任意,则,由为的周期,有,即,所以.又,因此,为周期函数,为的周期.也要指出,两个非周期函数的复合,可能是周期函数.例3 ,这两个函数都不是周期函数,但它们的复合函数是周期函数,且有最小正周期.3.2几类复合周期函数的最小正周期问题3.2.1 的最小正周期定理4 函数是定义在上的不恒为零的周期函数,则其倒数函数是集合上的周期函数,且函数的周期都是的周期.必须指出,函数与的周期未必是一致的.例4 函数显然, 是以2为最小正周期的周期函数.易见是以1为最小正周期的周期函数.定理5 若函数是上的