山东省青岛版九年级上册课件：3.1圆的对称性(垂径定理)全解.ppt

课堂目标 1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程. 2．理解圆的对称性及有关性质. 3．会垂径定理解决有关问题. 圆是轴对称图形. * 东平县初中数学 圆对称性(1)垂径定理 3.1 复习提问： 1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 可利用折叠的方法即可解决上述问题. O A C B N M D 圆是轴对称图形， 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 结论 练习1.判断题 (1)直径是弦 . (2)过圆心的线段是直径. (3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧. (5)面积不等的两圆不是等圆. (6)长度相等的两条弧是等弧. A C E F G H 弧长 FE = 3.84 cm 弧长 HG = 3.84 cm （） 看一看 B . O C A E D O . C A E B D AE≠BE AE＝BE ③AM=BM, 议一议 AB是⊙O的一条弦 . 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? A B C D M└ ⌒ AmB 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 题设 结论 如图,小明的理由是: 连接OA,OB, ●O A B C D M└ 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 题设 结论 （1）直径 （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 垂径定理三种语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。 E . A B O 典例精讲 已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA. 做一做 M O A C B N ①直线MN过圆心③ AC=BC ②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN 探索一： 结论： O A B M N 一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 C D 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD E . A C D B O 只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以 利用垂径定理来解决有关问题了. 变式：将大圆隐去，连接OA,OB得到下图，已知AC=BD,你能证明OA=OB吗？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 CE＝DE， ∵AC=BD ∴AC+CE=BD+DE即AE=BE ∴OE垂直平分AB ∴OA=OB 变式 ：如图，已知AB为 ⊙O 的直径，AC为弦，OD⊥AC，交AC于点D，BC=6cm，求OD的长。 A C B D O 新建 (6).doc 小结: 解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂