(高等代数新大纲.docVIP

《高等代数》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程名称 （中文） 高等代数 课程名称 （英文） Higher Algebra 课程类型 专业基础课 学 分 5+6 总学时 183 适用对象 数学与应用数学（一年级） 考核方式 闭卷笔试（平时成绩占20％—30％，期末成绩占80％—70％） 先修课程 二、课程简介 《高等代数》课程是数学与应用数学专业必修的基础课，它是与《数学分析》、《解析几何》从第一学期同时开设的数学系三大基础课之一。 本门课程主要由多项式理论与线性代数两部分组成。多项式代数是以数域上一元多项式的因式分解存在唯一性为中心的理论体系；线性代数则以矩阵、线性空间、代数型为研究对象。主要讲授行列式，线性方程组、矩阵、向量空间与线性变换、欧氏空间与酉空间、二次型。 三、课程目标 《高等代数》不仅为相平行开设的《数学分析》、《解析几何》两门基础课提供了必要的帮助，而且为后继课——《近世代数》、《常微分方程》、《概率论与数理统计》等课程的知识上的需要打下了良好的基础。 通过高等代数课程的教学，学生应理解并掌握一元多项式与线性代数的基础知识和基本理论；熟悉和掌握从定义出发，通过逻辑推理进行论证的抽象的，严密的代数方法；理解具体与抽象，特殊与一般，有限与无限辩证关系；提高抽象思维、逻辑推理和运算能力。 四、教学内容及要求 （一） 基本概念 1. 教学目标 正确理解与掌握映射、单射、满射、双射、映射的相等、映射的合成、逆映射等概念，并会判断或证明相关的问题。正确理解和掌握正整数集的最小数原理，数学归纳法原理，并熟练地运用数学归纳法。正确理解并熟练掌握整数的整除性质。正确掌握数环、数域的概念，并准确判断数集是否为数环、数域，学会证明有理数域是最小数域。 2. 教学内容 1） 映射 2） 数学归纳法 3） 整数的一些整除性质 4） 数环与数域 （二） 多项式 1. 教学目标 正确理解数环上一元多项式的定义、运算及其算律，熟练掌握和应用多项式和与积的次数性质。正确理解和掌握多项式的整除概念与性质，深入掌握和应用多项式的带余除法。正确理解并深入掌握最大公因式的概念、性质与求法；正确理解并深入掌握多项式互素概念与性质。正确理解并深入掌握不可约多项式的概念及其性质，正确理解多项式的因式分解存在唯一性定理及其典型分解式。正确理解多项式的导数与重因式的概念，深入掌握和应用多项式有重因式的判别定理。掌握多项式函数与多项式的根的概念，熟练掌握和应用综合除法。正确理解代数基本定理，掌握复数域和实数域上多项式因式分解定理。熟练地掌握有理数域上多项式的有理根的求法，正确理解和判别有理数域上有任意次数的不可约多项式。了解掌握多元多项式的基本概念、运算及基本性质。正确掌握对称多项式的基本概念及其基本定理，学会将一般对称多项式化为初等对称多项式的多项式的方法。 2. 教学内容 1） 数环Ｒ上一元多项式的定义、运算及其算律，多项式和、积的次数定理。 2） 多项式的整除性；整除定义及其基本性质，Ｅuclid带余除法。 3） 多项式的最大公因式： 4） 多项式的分解 5） 重因式 6） 多项式函数与多项式的根 7） 复数和实数域上多项式 8） 有理数域上多项式 9） 多元多项式 10）对称多项式 （三） 行列式 1. 教学目标 正确理解和深入掌握n阶行列式的定义与性质。熟练运用行列式性质及其依行（列）展开式，进行行列式计算。熟练掌握和应用克莱姆（Cramer)规则。 2. 教学内容 1） 排列 2） n阶行列式定义与性质 3） 子式和代数余子式，行列式依行依列展开 4） 行列式的计算 5） 克莱姆(Cramer)规则及应用 （四） 线性方程组 1. 教学目标 正确理解消元法与矩阵的初等变换的关系，熟练地运用矩阵的初等变换解一般线性方程组。正确理解和掌握矩阵的秩的概念，并熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩。深入理解和熟练掌握线性方程组可解的判别定理及其应用。熟练掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件。了解两个一元多项式的公根与结式的关系，两个二元多项式的公根问题可转化为求一个未知量的方程的根的方法，以及结式与判别式的关系。 2. 教学内容 1） 线性方程组的消元法与线性方程组的初等变换 2） 矩阵的初等变换；矩阵的定义，矩阵的初等变换概念，线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换，任何一个m×n矩阵通过行初等变换和列第一种初等变换化为阶梯形，用矩阵初等变换解线性方程组。 3） 矩阵的秩的定义，初等变换不改变矩阵的秩，求矩阵秩的初等变换的方法。 4） 线性方程组可解性的判别 5） 齐次线性方程组的定义及其有非零解的充要条件 6） 结式与判别式 （五） 矩阵 1. 教学目标 正确理解并深入掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等概念，及其它们的运算法则