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南京市第27高级中学2010/2011学年度第一学期高三年级学情分析数学试卷（十六）2011. 1. 7 一. 填空题（本题共14小题,每小题5分, 计70分） 1. 已知集合集合则 . 2. 命题: “”的否定是 . 3. 已知是虚数单位, 计算: . 4. 在中, , 是的中点, 若则 . 5. 某公司招聘员工, 面试人数拟照公式 确定其中表示 拟录取人数, 现已知面试人数为60人, 则该公司拟录取的人数为 人. 6. 已知米粒等可能地落入如图的示的四边形内, 如果通过大量的实验发现米粒落入内的频率稳 定在附近, 那么点和点到直线的距离之比 约为 . 7. 一个算法的程序框图如右图所示, 若该程序输出的结 果为, 定则判断框中应填入的条件是: . 8. 已知定义在上的函数的最小正周期是且 , 则 . 9. 设数列满足且记 的前项和为则 . 10. 椭圆的左焦点为, 点在椭圆上, 如果线段的中点在轴的正 半轴上, 那么点的坐标是 . 11. 直线能作为下列函数图像的切线的是 (写出所有符合题意的 函数的序号) ① ② ③ ④ 12. 若⊙与⊙相交于、两点, 且 两圆在点处的切线互相垂直, 则线段的长度是 . 13. 已知函数及其导函数的图象如图 所示, 则曲线在点处的切线方程是 . 14. 已知, 且, 则 的最小值是 . 二. 解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. (本题满分14分) 在中, , 面积 (1) 求边的长度; (2) 求值: 16．（本小题16分）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品, 该工艺品由一个圆柱和一 个半球组成, 要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为, 工艺品的体积为. 设圆柱的底面直径为, 工艺品的表面积为. (1) 试写出关于的函数关系式; (2) 怎样设计才能使工艺品的表面积最小？ 17. (本题满分14分) 在四边形中, , 分别是的中点 (如图1) . 将四边形沿折成空间图形 (如图 2) 后, (1) 求证: (2) 线段上是否存在一点使得平面？若存在, 试指出点的位置, 并 证明之; 若不存在, 试说明理由. 18. （本小题16分）已知椭圆的中心在坐标原点, 经过两点 圆以点为圆心, 椭圆的短半袖长为半径. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 若点是圆上的一个动点, 求的取值范围. 19.（本小题16分）已知数列中, (, ), 数列, 满足(). (1) 求证数列是等差数列; (2) 若++, 则是否存 在最大值或最小值？若有, 求出最大值与最小值, 若没有说明理由. 20.（本小题16分）已知函数, 若在处的切线方 程为. (1) 求的解析式及单调区间; (2) 若对任意的都有成立, 求函数的最值. 南京市第27高级中学2010/2011学年度第一学期 高三年级学情分析数学试卷参考答案（十六）2011. 1. 7 一．填空题（每小题5分, 共70分） 题号 答案 题号 答案 1 8 2 “” 9 3 10 4 11 ② ④ 5 12 6 13 7 14 4.【解】 7.【解】 9.【解】 则是以公比的等比数列, 由 12.【解】由题知, 且, 又, 所以有, ∴. 二. 解答题（本大题共6小题，满分90分） 15.【解】(1) 在中, ,. (2) 16．【解】(1) 由题知圆柱的底面半径为, 半球的半径为. 设圆柱的高为. 因为工艺品的体积为, 所以工艺品的表面积为 由且得 所以关于的函数关系式是 (2) 由(1)知, 令得 当时, 关于是单调减函数; 当时, 关于是单调增函数 当时, 时取得最小值, 此时 答: 按照圆柱的高为, 圆柱的底面半径为, 半球的半径为设计, 工艺品的 表面积最小, 为 17．【证】(1) 在图1中, 因为, . 分别是的中点, . 在图2中, , . , 是的中点, . 四边形是平行四边形. 且. 且平面, 平面. 平面, . (2) 当在线段上, 且时, 平面. 证明如下: 在线段上取点, 使. 是梯形的中位线, , 且. , 且