(必修5第一章正弦定理和余弦定理知识点及典型例题.docVIP

正弦定理和余弦定理 要点梳理．其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝Rsin A，b＝Rsin B，c＝Rsin C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.．余弦定理：. 余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________. 3．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝. 4．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　) A．2 B．8 C. D. 题型分类 深度剖析 题型一　利用正弦定理求解三角形 例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c. 思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解　由正弦定理得＝，＝，∴sin A＝.∵ab，∴A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.探究提高　(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则A＝解析　∵A＋C＝2B，∴B＝.由正弦定理知sin A＝＝. 题型二　利用余弦定理求解三角形 例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝. 求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积． 解　(1)由余弦定理知：cos B＝， cos C＝.将上式代入＝－得：·＝－， 整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－.∵B为三角形的内角，∴B＝π. (2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S△ABC＝acsin B＝.探究提高　(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 变式训练2已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．解　(1)由，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－. ∵0Aπ，∴A＝. (2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4， 有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝. 题型三　正、余弦定理的综合应用 3. 在△ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边 △ABC 外接圆半径为 （1）求角C的大小； （2）求△ABC 面积的最大值. 解: （1）∵△ABC 外接圆半径为 ∴由正弦定理得：即由余弦定理得： （2） 探究提高　在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．变式训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. (1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值； (2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．解　(1)∵c＝2，C＝， ∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为，∴absin C＝，ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2s