(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文试题2.docVIP

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2013.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2．复数（ ） （A） （B） （C） （D） 3．执行如图所示的程序框图，则输出（ ） （A） （B） （C） （D） 函数的零点个数为（ ） （A） （B） （C） （D） 5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （A） （B） （C） （D） 6．过点作圆的两条切线，，为切点，则（ ） （A） （B） （C） （D） 7．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数： ①；②；③． 其中，具有性质的函数的序号是（ ） （A）① （B）③ （C）①② （D）②③ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知向量，．若向量与共线，则实数___________． 10．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为___________． 11．双曲线的渐近线方程为________________；离心率为___________． 12．若函数是奇函数，则___________． 13．已知函数，其中．当时，的值域是___________；若的值域是，则的取值范围是___________． 14．设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△中，内角的对边分别为，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求△的面积． 16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数； （Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率． 17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，，，，分别 为，的中点．（Ⅰ）求线段的长； （Ⅱ）求证：// 平面； （Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由． 18．（本小题满分13分）已知函数，其中． （Ⅰ）若是的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间． 19．（本小题满分14分）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积． 20．（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令． （Ⅰ）对如下数表，求的值； （Ⅱ）证明：存在，使得，其中； （Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：． 北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．；10．； 11．，； 12．；13．，；14．． 注：11、13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由已知得 ， ………………2分 即 ． 解得 ，或． ………………4分 因为 ，故舍去．