Ch2-1矩阵+运算.ppt

矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支. 矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置. 凯莱(Arthur Cayley)英国数学家,1821—1895 本章先引入矩阵的概念， §1 矩阵的概念 一. 矩阵定义 引例2 列昂杰夫投入—产出模型 从经济角度来看，每个部门都有双重身份： 一、 作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要 —— 产出 二、 作为消费者又消费着其他部门生产的产品 —— 投入 设国民经济（或某地区的经济）有 n 个经济部门， 为简单起见，假定每部门只生产一类产品。 为便于比较，用货币来表示各部门所生产的产品与消耗的商品。 n = 3 定义 当 m=n 时, 即矩阵的行数与列数相同时, 称矩阵为方阵 例1 例2(P30 例2) 四城市间的通航图如右图 例3(P30 例3) 二、 几种特殊形式的矩阵 三、矩阵的相等 小结 §2 矩阵的运算 2. 数乘 二、矩阵与矩阵相乘 例4 例5(P35 例5 ) 乘法的运算规律 例6 例7 2、方阵的正整数幂 例8 上节例2 例9 例10(P38例6) 例11 设 三、 矩阵的转置 对称阵与反对称阵 例12(P40例8) 四、方阵的行列式 方阵行列式的性质 五、伴随矩阵 例13(P41 例9) 小结 矩阵 运算 成立的条件? AB=BA 问题 !!! ≠ k 个 0—— i 市到 k 市, 或 k 市到 j 市无单向航线 1—— i 市到 k 市和 k 市到 j 市都有单向航线 非 0 即 1 ④ ② ③ ∴ i 市与 j 市之间有(一次中转)航线时 四城市间的单向通航图 从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线条数 1 市到 3 市经一次中转的航线标示有误 设 求 C n. 解 计算量太大! n 个 n-1 个 解 求矩阵的幂 将OP 旋转 角 2 2 2 2 2 2 n n n n n n 解 A = ( aij )为 n?m 阶矩阵， A? = ? ? n =? ?? =? 对角线元素做相应的运算　 左乘对角阵 相当于对行作数乘运算 右乘对角阵 相当于对列作数乘运算 转置矩阵 !!! 证 设 左端 i , j 位置： 右端： = ? —— 两种解法. P39例7请自读 是对称阵! （对称） （反对称） 任一方阵都可以 分解成对称阵与 反对称阵的和. 方阵 证 证明 H 是对称阵 , 一阶矩阵 可按这种现象分类！ 例 定义 若方阵A的行列式不为零, 则称A为非奇异(方)阵, 否则称为奇异(方)阵. 你能举一些非奇异和奇异阵的例子吗? 定义 由方阵A 所构成的行列式称为方阵A 的行列式, 奇异阵 非奇异阵 你能给出一个方阵是非奇异阵的充分条件吗? O E 充分必要条件？ 记为 不是同阶方阵 此性质不成立! X n 方阵的行列式的性质 奇数阶反对称阵 构成的行列式为零 0 定义2 代数余子式的顺序! 例3 求二阶矩阵的伴随矩阵. !!! 称为A的 伴随矩阵. 方阵 T d - c a - b 例如乘积阵的第2行元素 证 0 |A| 0 … 0 利用代数余子式的重要性质 乘积阵第 i 行的元素 ? A*重要公式 试证： * * * * * * 第二章 矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的, 凯莱(Cayley)在1855年引入了矩阵的概念，被公认为是“矩阵论”的创立者. 但历史非常久远，可追溯到东汉初年(公元一世纪)成书的《九 章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用 的解法就是矩阵的初等变换. 矩阵的概念和运算是线性代数的基本内